Facteur d'intensité de contrainte
Lorsqu’un matériau soumis à une sollicitation mécanique développe une fissure, celle-ci peut se propager selon plusieurs modes distincts : l’ouverture (mode I), le glissement (mode II) ou encore le glissement dévié (mode III) (voir Fig. ci-après). Le mode le plus étudié parce qu’il est le plus dangereux dans les matériaux cristallins est le mode par ouverture, pour lequel les contraintes en pointe de fissure, typiquement au point \(M\) défini à la figure ci-après, s’expriment par :
\(\sigma_{ij} \left( M \right) = \frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}} f_{ij} \left( \theta \right)\)
avec \(ij = xx, \, yy, \, xy \textrm{ ou } yx\)
où \(K_I\) est le facteur d’intensité de contrainte en mode \(I\), \(r\) et \(\theta\) définissent la position du point \(M\), et \(f_{ij} \left( \theta \right)\) est une fonction trigonométrique.
On constate que si \(r\) se rapproche de 0, alors les contraintes tendent vers l’infini, ce qui bien sûr n’a pas de sens et pose le problème de la validité du modèle, développé dans le cadre d’une approche élastique linéaire. De surcroît, l’augmentation des contraintes au voisinage de la fissure conduit généralement à un dépassement local de la limite d’élasticité qui se traduit par l’apparition d’une zone déformée plastiquement dont les dimensions sont simplement estimées en appliquant le critère de plasticité de Von Mises.
\(\sigma_{xx}=\frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}}.\cos\left( \frac{\theta}{2} \right). \left[ 1 - \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) . \sin\left( \frac{3\theta}{2} \right) \right]\) | \(\sigma_{xx}=\frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}}.\cos\left( \frac{\theta}{2} \right). \left[ 1 - \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) . \sin\left( \frac{3\theta}{2} \right) \right]\) |
\(\sigma_{yy}=\frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}}.\cos\left( \frac{\theta}{2} \right). \left[ 1 + \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) . \sin\left( \frac{3\theta}{2} \right) \right]\) | \(\sigma_{yy}=\frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}}.\cos\left( \frac{\theta}{2} \right). \left[ 1 + \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) . \sin\left( \frac{3\theta}{2} \right) \right]\) |
\(\sigma_{xy}=\frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}}.\cos\left( \frac{\theta}{2} \right). \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) . \sin\left( \frac{3\theta}{2} \right)\) | \(\sigma_{xy}=\frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}}.\cos\left( \frac{\theta}{2} \right). \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) . \sin\left( \frac{3\theta}{2} \right)\) |
\(\sigma_{xz}=\sigma_{yz}=\sigma_{zz}=0\) | \(\sigma_{xz}=\sigma_{yz}=0\) |
\(\sigma_{zz}=\nu \left( \sigma_{xx} + \sigma_{yy}\right) = 0 \quad \textrm{ en contrainte plane}\) | |
État de contrainte plane (surfaces) | État de déformation plane (centre) |
|---|
Le facteur d’intensité de contrainte \(K_I\) se calcule à partir de la contrainte appliquée, de la géométrie de la pièce et de la taille de la fissure :
\(K_I = \alpha \cdot \sigma _\infty \cdot \sqrt{\pi \cdot a}\)
\(\alpha\) est un coefficient géométrique, par exemple pour une plaque semi-infinie :
\(K_I = 1,12 \cdot \sigma _\infty \cdot \sqrt{\pi \cdot a}\)
où \(a\) est la taille de fissure, \(\sigma _\infty\) la contrainte appliquée.
Dans le cas, d’une plaque de largeur \(2W\) :
\(K_I = \cdot \sigma _\infty \cdot \sqrt{\pi \cdot a} \cdot \sqrt {\frac{2W}{\pi \cdot a} \cdot \tan \left( \frac{\pi \cdot a}{2W} \right)}\)
Le facteur d’intensité de contrainte augmente lorsque la taille de la fissure augmente. Même si la contrainte nominale demeure constante, les contraintes locales peuvent croître si la fissure s’agrandit. Quand le facteur d’intensité de contrainte atteint une valeur critique, les contraintes sont tellement importantes en pointe de fissure qu’il y a rupture brutale. Cette valeur seuil est appelée ténacité, elle est notée \(K_{IC}\).
en contrainte plane (bords) | en déformation plane (milieu) |
|---|---|
\(OA = r_y = \frac{1}{2\pi} . \left( \frac{K_I}{R_{0,\,2}} \right) ^2\) | \(r_y = \frac{1}{6\pi} . \left( \frac{K_I}{R_{0,\,2}} \right) ^2\) |
