Expression du bilan de population pour l'agglomération

Habituellement, le bilan de population s'exprime en fonction de la variable de propriété taille \[{d}_{p}\] et fait intervenir la densité de population[1] \[n\left({d}_{p},t\right)\][1].

Fondamental

Comme l'agglomération[2] conserve les volumes et non les tailles de solides, on prend comme variable de propriété non plus la taille \[{d}_{p}\], mais le volume \[{v}_{p}\] du cristal.

Définition

\[{n}_{v}\left({v}_{p},t\right)\][4] \[{{dv}}_{p}\] désigne le nombre de cristaux par unité de volume de suspension.

\[n\left({d}_{p},t\right)\][1] et la densité de population en fonction du volume de solide[4] \[{n}_{v}\left({v}_{p},t\right)\][4] sont liés par la relation suivante, qui exprime que le nombre de particules de taille \[L\] par unité de volume de suspension reste le même, quelle que soit la variable utilisée pour le représenter :

\[n\left({d}_{p},t\right){{dd}}_{p}=\mathrm{nv}\left({v}_{p},t\right){{dv}}_{p}\]

Comme \[{v}_{p}={\phi }_{v}{d}_{p}^{3}\]

\[{n}_{v}\left({v}_{p},t\right)=\frac{n\left(L,t\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}\]

La même relation vaut entre le flux de particules d'entrée dans un volume de référence exprimés en fonction des deux variables \[{F}_{\mathrm{Ev}}\] et \[{F}_{E},\] et les flux de particules de sortie \[{F}_{\mathrm{Sv}}\] et \[{F}_{\mathrm{S.}}\]. (les débits étant \[{Q}_{E}\][5]et \[{Q}_{S}\][6])

\[{F}_{\mathrm{ev}}\left({v}_{p},t\right)={Q}_{E}{n}_{\mathrm{vE}}{{dv}}_{p}=\frac{{F}_{E}\left(L,t\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}=\frac{\left({Q}_{e}{n}_{E}{{dd}}_{p}\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}\]
\[{F}_{{s}_{v}}\left({v}_{p},t\right)={Q}_{S}{n}_{v}Sd{v}_{p}=\frac{{F}_{S}\left(L,t\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}=\frac{\left({Q}_{s}{n}_{S}{{dd}}_{p}\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}\]

Les vitesses de croissance \[G\][7] et \[{G}_{v}\] sont liées par leurs définitions :

\[{G}_{v}=\frac{{{dv}}_{p}}{{dt}}=3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\frac{{dd}_{p}}{{dt}}=3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}G\]

Remarque

  • On en déduit que si l'hypothèse de Mac Cabe est réalisée pour \[G\][7] (indépendant de \[{d}_{p}\]), elle n'est pas vérifiée pour \[{G}_{v}\].

  • Le système dans lequel on écrit le bilan de population n'ayant rien à voir avec les limitations physiques du transfert de matière, on sera en limitation diffusionnelle ou non, quelle que soit la variable choisie.

  • On remarquera que \[Gn={G}_{v}{n}_{v}\]. C'est normal, car il s'agit du flux spécifique par unité de volume de croissance le long de l'axe des tailles ou des volumes exprimé en particules.m-3.s-1 et donc identique quelles que soient les variables \[{d}_{p}\] ou \[{v}_{p}\][8].

Définitionvitesse de nucléation

La vitesse de nucléation[9] désigne le nombre de cristaux engendrés par unité de temps et de volume de suspension.

Celui-ci est donc le même quel que soit le système de notations.

\[{r}_{\mathrm{NTv}}={r}_{\mathrm{NT}}\]

Le volume critique[10] d'un germe \[{v}_{\mathrm{pc}}\][10] se déduit aisément de sa taille critique \[{d}_{\mathrm{pc}}\] :

\[{v}_{\mathrm{pc}}={\phi }_{v}{d}_{\mathrm{pc}}^{3}\]

Dans un bilan de population, les deux termes d'agglomération[2] s'expriment en fonction de la vitesse spécifique d'une agglomération[11] \[{R}_{\mathrm{AG}}\][11] entre deux populations respectivement de volumes \[{v}_{{p}_{1}}\] et \[{v}_{{p}_{2}}\] et de concentrations en particules[12] respectives \[{N}_{1}\] et \[{N}_{2}\] (nombre de cristaux/unité de volume de suspension) :

Considérons maintenant la classe de volume compris entre \[{v}_{p}\][8] et \[{v}_{p}+{{dv}}_{p}\]. On va exprimer la vitesse spécifique d'une agglomération[11] \[{R}_{\mathrm{AG}}\][11] entre deux agglomérats de taille \[{v}_{{p}_{1}}\] et \[{v}_{{p}_{2}}\] tels que \[{v}_{{p}_{1}}+{v}_{{p}_{2}}={v}_{p}\] pour une agglomération[2] sans génération de porosité interne, donnant un agglomérat qui vient se ranger dans la classe en question :

\[{R}_{\mathrm{AG}}={\beta }_{\mathrm{AG}}\left({v}_{{p}_{1}},{v}_{{p}_{2}}\right){n}_{v}\left({v}_{{p}_{1}},t\right){n}_{v}\left({v}_{{p}_{2}},t\right){{dv}}_{{p}_{1}}{{dv}}_{{p}_{2}}\]

Symétriquement, la vitesse spécifique d'agglomération[11] entre un cristal de volume \[{v}_{p}\mathrm{'}\] et un cristal de la classe \[{v}_{p}\][8] s'écrit: :

\[{\beta }_{\mathrm{AG}}\left({v}_{p}\mathrm{'},{v}_{p}\right){n}_{v}\left({v}_{p}\mathrm{'},t\right){n_v}\left({v}_{p},t\right){{dv}}_{p}\mathrm{'}{{dv}}_{p}\]

On peut alors tenir compte de toutes les collisions possibles impliquant la classe \[{v}_{p}\][8], en prenant garde à ne pas compter deux fois la même collision entre \[{v}_{{p}_{1}}\] et \[{v}_{{p}_{2}}.\] On a alors, pour expression du terme d'agglomération[2] relatif à la taille \[{v}_{p}\][8] ( Mersmann, 2001[13]) :

\[\frac{1}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p2}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}{{dv}}_{\mathrm{p2}}-{n}_{v}\left({v}_{p}\right){{dv}}_{p}{\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\mathrm{'}}_{p}\right){dv}{\mathrm{'}}_{p}\]

Le premier terme fait la somme de toutes les créations possibles de particules de taille \[{v}_{p}\][8] par agglomération, le second terme celui de toutes les disparitions possibles de ces mêmes particules.

Comme \[{v}_{{p}_{2}}={v}_{p}–{v}_{{p}_{1}}\], on peut écrire ce terme :

\[\frac{{{dv}}_{p}}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{p1}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}-{n}_{v}\left({v}_{p}\right){{dv}}_{p}{\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\mathrm{'}}_{p}\right){dv}{\mathrm{'}}_{p}\]

et pour le bilan de population complet en fonction de la variable \[{v}_{p}\][8] :

\[\begin{array}{c}\frac{1}{V}\frac{\partial \left({n}_{v}V\right)}{\partial t}+\frac{\partial \left({G}_{v}{n}_{v}\right)}{\partial {v}_{p}}+\frac{\left({Q}_{S}{n}_{\mathrm{vS}}-{Q}_{E}{n}_{\mathrm{vE}}\right)}{V}-{r}_{N}\delta \left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pc}}\right) =\\ \frac{1}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{p1}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}-{n}_{v}\left({v}_{p}\right){\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv}{\textrm{'}}_{p}\end{array}\]

\[{Q}_{s}{n}_{\mathrm{vS}}{{dv}}_{p}\] et \[{Q}_{e}{n}_{\mathrm{vE}}{{dv}}_{p}\] sont respectivement le flux de particules sortant et le flux de particules entrant dans le volume V pour les tailles comprises entre \[{v}_{p}\][8] et \[{v}_{p}+{{dv}}_{p}\] ; \[\delta \] est la fonction de Dirac.