Sciences et Technologies des Poudres

Ceci revient à faire de la cristallographie simplifiée pour examiner la structure des empilements stables sous gravité et en négligeant la possibilité de cohésion entre les particules pour former des pontages. Les cas le plus simple sont des arrangements de sphères égales en deux dimensions (2D). Deux cas spécifiques peuvent être identifiés.

• L'arrangement en couche carré : Compacité \(c = 0,785\), Porosité \(\varepsilon = 0,215\) ;

• L'arrangement en couche triangulaire : Compacité \(c = 0,907\), Porosité \(\varepsilon= 0,093\).

Pour passer en trois dimensions (3D) on peut assembler ces deux types couches de trois façons indiquées sur la figure 3. D'abord on pose une couche directement sur l'autre (cas 1 et 6), ensuite on déplace linéairement une des couches pour que les sphères se logent dans les creux entre deux sphères (cas 2 et 5). Ensuite on ajoute un déplacement latéral pour que les sphères se logent dans les creux entre des groupes de sphères (cas 3 et 6). Cet inventaire des 6 possibilités est listé dans le tableau 1 qui indique que les cas 2 et 4 et les cas 3 et 6 sont identiques. Finalement l'inventaire se limite à 4 possibilités de structure différentes : cubique, orthorhombique, spénoïdale, tétraédrique. On voit que, même dans ce cas simple, il y a plusieurs possibilités d'assemblage de grains qui donnent une porosité entre 0,476 et 0,260 et des nombres de coordination entre 6 et 12. On peut en tirer quelques observations générales :

• la porosité est indépendante de la taille des particules,

• la porosité peut varier de \({47,6}{\, \rm \%}\) à \({26.0}{\, \rm \%}\),

• le nombre de coordination est compris entre 6 et 12,

• le produit de la porosité par la coordination est approximativement constant et environ 3.

Examinons plus en détail les assemblages (1) et (6), c'est-à-dire les empilements les plus les plus lâches et les plus serrés.

Dans la cellule unitaire de l'empilement cubique (figure 4 (a)) formé par 8 sphères de diamètre \(D_{\textrm{sphère}}\) il y a un vide central qui peut contenir une sphère de diamètre \(0,73 D_{\textrm{sphère}}\). Ce vide est connecté à 6 autres vides semblables par des rétrécissements ou "cols" qui peuvent juste laisser passer des sphères de diamètre \(0,414 D_{\textrm{sphère}}\).

Dans la cellule unitaire de l'empilement tétraédrique (figure 4 (b)) il y a deux types de cellules ; un de forme rhomboïdale qui peut contenir une sphère de diamètre \(0,29 D_{\textrm{sphère}}\) l'autre de forme tétraédrique qui peut contenir une sphère de \(0,225 D_{\textrm{sphère}}\). Il y a deux fois plus de cellules tétraédriques que de rhomboïdales et la communication entre cellules de type différent se fait toujours par des "cols" de la même dimension qui peuvent laisser passer une sphère de diamètre \(0,155 D_{\textrm{sphère}}\). Le volume vide est partagé dans le rapport 6 : 3 entre cellules rhomboïdales et tétraédriques.

Concernant l'espace des pores, on peut faire des observations générales suivantes :

• l'espace poreux est cellulaire avec des "cols" et de "vides" connectés en réseau,

• la plus grande "vide" est de \(0,73 D_{\textrm{sphère}}\) et la plus petite est de \(0,225 D_{\textrm{sphère}}\),

• les "cols" ont des diamètres de \(0,414 D_{\textrm{sphère}}\) à \(0,155 D_{\textrm{sphère}}\).

Une dernière observation, concernant les empilements réguliers, est certes tautologique, mais on doit observer qu'ils ne sont pas des empilements aléatoires. Une des caractéristiques important des empilements aléatoires est qu'une section coupé n'importe où à travers l'empilement exposera une porosité surfacique égale à la porosité volumique. Pour des empilements réguliers, ceci n'est pas le cas. Par exemple si on coupe la cellule unitaire cubique a mi-hauteur, la section exposée (figure 5) ne contient aucun parti solide et la porosité surfacique est 1. Par contre si on coupe à la section délimitée par des centres des sphères, on expose la section avec la porosité surfacique suivante :

\(1-\varepsilon_{\rm surfacique} =\frac{4\frac{\pi}{4 \times 4}d^2}{d^2}=\frac{\pi}{4}=0,785\)

donc\( \varepsilon_{\rm surfacique} = 0,215\).

La porosité surfacique dans un empilement cubique varie donc entre 1,0 et 0,22. Des observations semblables peuvent être faites pour tous les empilements réguliers. Ainsi dans le cas de l'écoulement de fluide à travers un empilement régulier il y aura des accélérations et des ralentissements globaux, mais par contre l'écoulement de fluide à travers un empilement aléatoire sera globalement uniforme. Cette non-uniformité de la répartition de la porosité (et donc des sphères) aura également des répercussions sur les propriétés mécaniques avec cisaillement dans les plans préférentiels. On peut conclure que des empilements réguliers donnent certaines indications sur la structure des poudres mais il est nécessaire d'aller plus loin vers la réalité.