Sciences et Technologies des Poudres

Janssen a proposé en 1895 un calcul permettant de décrire les contraintes exercées par une poudre non cohésive stockée dans un silo dont le résultat permet de bien décrire les phénomènes observés.

Écrivons l’équilibre vertical d’une tranche d’épaisseur \(dz\) de poudre stockée dans un silo de diamètre \(B\) (voir le schéma). Les forces qui s'exercent sont le poids \(P=\rho_{\rm app} g\frac{\pi B^2}{4}dz\) de la tranche, les contraintes normales \(\sigma\) et \(\sigma+d\sigma\) intégrées sur les faces horizontales et la contrainte tangentielle \(\tau_p\) intégrée sur le pourtour, due à la friction à la paroi :

\(P+\sigma \frac{\pi B^2}{4} - \left(\sigma + d\sigma\right)\frac{\pi B^2}{4} -\tau_p \pi Bdz =0\)

Ce qui donne :

\(\frac{d\sigma}{dz} =\rho_{\rm app} g-\frac{4\tau_p}{B}\)

La variation de pression verticale est hydrostatique, diminuée des frottements pariétaux.

En supposant le frottement à la paroi pleinement mobilisé et sans adhésion ou cohésion, on a :

\(\tau_p=\mu_p\sigma_p\)

où \(\mu_p\) est le coefficient de friction effectif à la paroi et \(\sigma_p\) la contrainte normale à la paroi.

Pour clore le système, il nous faut une équation qui permette de déterminer \(\sigma_p\). Cette contrainte ne peut pas prendre toute valeur mais est bornée. Le cercle de Mohr représentant les contraintes dans la tranche doit rester au-dessous du critère de rupture. Le schéma qui suit donne les valeurs minimale et maximale pour \(\sigma_p\) dans le cas d'une poudre non cohésive.

Les valeurs minimales et maximales sont aisément calculables par trigonométrie et l'on obtient :

\(\frac{1-\sin\left(\theta\right)}{1+\sin\left(\theta\right)}< \frac{\sigma_p}{\sigma}< \frac{1+\sin\left(\theta\right)}{1-\sin\left(\theta\right)}\)

Les bornes inférieures et supérieures sont appelées respectivement les constantes active et passive de Rankine et notées usuellement \(K_a\) et \(K_b\).

Pour beaucoup de matériaux granulaires, l'angle de repos \(\phi\) est autour de \({30º}\), ce qui conduit à des constantes actives et passive valant respectivement \(\frac{1}{3}\) et 3.

Pour lever cette indétermination, Janssen suppose que le ratio des contraintes normales dans les deux directions orthogonales est constant :

\(\sigma_p=K \sigma\)

Ceci est en particulier vérifié si la poudre est partout en état de rupture (le cercle de Mohr tangente le critère de Coulomb) et si les directions principales gardent une orientation constante.

En substituant les relations \(\sigma_p=K \sigma\) et \(\tau_p=\mu_p \sigma_p\) dans l'équation \(\frac{d\sigma}{dz}=\rho_{\rm app}g-\frac{4\tau_p}{B}\), on aboutit à l’équation différentielle linéaire du premier ordre :

\(\frac{d\sigma}{dz}=\rho_{\rm app}g-\frac{4\mu_p K}{B}\sigma\)

qui se résout en :

\(\sigma=\rho_{\rm app}g\frac{B}{4\mu_p K}\left( 1-e^{-4\mu_p K}\frac{z}{B}\right)\)

En faisant tendre le diamètre \(B\) vers l’infini, on retrouve le cas du sol et la contrainte verticale \(\sigma\) augmente linéairement avec la profondeur comme pour le cas d’un liquide. Mais dans un silo, le poids du milieu granulaire n'est pas complétement transmis sur la base car une fraction est maintenue par les parois latérales. La contrainte verticale ne varie pratiquement plus à partir d’une certaine épaisseur. Elle sature à \(\sigma_{\infty}=\rho_{\rm app}g\frac{B}{4\mu_p K}\). La hauteur caractéristique de stockage à partir de laquelle la contrainte en bas de silo est à saturation est :

\(h_c=\frac{B}{4\mu_p K}\)

À \(2,5h_c\), la contrainte \(\sigma\) est à moins de \({10}{\, \rm \%}\) de sa valeur limite.

Pour un matériau typique pour lequel \(\phi={30º}\)et \(\phi_p={20º}\), on a \(h_c=2B\) dans le cas actif et donc les efforts en fond de silo atteigne leur limite asymptotique pour une hauteur de cinq fois le diamètre du silo. Dans le cas passif, \(K_p=3\), \(h_c=0,22B\) et l’épaisseur de stockage avant saturation des contraintes n’est plus que d’un demi-diamètre.