Propriétés élastiques des dislocations
Par suite de la définition générale des dislocations introduisant la notion de coupure dans un milieu élastique, il est clair que des déformations élastiques sont créées dans le milieu et que la dislocation est le centre d’un champ de contrainte. Le travail effectué au cours des opérations de coupure correspond à l’énergie interne des dislocations. D’autre part, puisqu’une contrainte exerce une force sur une dislocation donnée, une dislocation exercera, du fait de son champ de contrainte, une force sur tout autre dislocation, et réciproquement : il y a interaction élastique entre les dislocations.
Rappels d'élasticité
Lorsqu’on exerce une contrainte sur un cristal, celui-ci se déforme. Si le cristal reprend sa forme quand la contrainte est relaxée, la déformation est dite élastique et est régie par la loi de Hooke qui établit la proportionnalité entre contrainte et déformation. Le coefficient de proportionnalité est le module élastique qui s’exprime en unité de contrainte puisque la déformation est une quantité sans dimension.
Sollicitation en traction :
On applique la contrainte \(\sigma\) et la déformation résultante ε est l’allongement relatif (voir Fig. ci-après).
On a : \(\sigma = E \epsilon\) où \(E\) est le module d’Young ( \(E = {200}{\rm \, GPa}\) pour les aciers, \({100}{\rm \, GPa}\) pour le \(\ce{Cu}\), \({10}{\rm \, GPa}\) pour le \(\ce{Pb}\)). L’allongement est accompagné d’une contraction latérale \(\Delta r / r_0 = - \nu \epsilon\) où \(\nu\) est le coefficient de Poisson.
Sollicitation en cisaillement :
Dans ce cas, la contrainte appliquée, appelée cission, n’est pas normale mais parallèle (tangentielle) aux faces sur lesquelles elle s’exerce (voir Fig.). La déformation \(\gamma\) s’exprime en valeur relative par le déplacement par unité d’épaisseur c’est-à-dire par l’angle \(\gamma\) indiqué sur la figure. La loi de Hooke s’écrit : \(\tau = \mu \gamma\) où \(\mu\) est le module de Coulomb ou module de cisaillement \(\left[\mu = E / 2\left(1 + \nu\right)\right]\).
Cas général
Dans le cas général (voir Fig. ci-après), les contraintes qui s’exercent sur les faces d’un cube élémentaire sont telles qu’elles sont opposées deux à deux puisque le solide est en équilibre. Par exemple, la contrainte qui s’exerce sur la face perpendiculaire à \(OX\) peut se décomposer en une contrainte normale \(\sigma_x\) et deux contraintes tangentielles \(\tau_{xy}\) et \(\sigma_{xz}\), il en est de même sur les trois autres faces si bien que l’on doit considérer 3 composantes normales \(\sigma_x\), \(\sigma_y\), \(\sigma_z\) (contraintes de traction) et 6 composantes tangentielles \(\tau_{xy}\), \(\tau_{xz}\), \(\tau_{yz}\), \(\tau_{yx}\), \(\tau_{zx}\), et \(\tau_{zy}\) (contraintes de cisaillement) pour décrire complètement l’état de contrainte. Mais, afin qu’il n’y ait pas de couple qui agisse sur le matériau, la condition d’équilibre impose : \(\tau_{xy} =\tau_{yx}\), \(\tau_{xz} =\tau_{zx}\) et \(\tau_{yz} =\tau_{zy}\). De même la déformation du solide s’exprime à l’aide de 6 composantes indépendantes : \(\epsilon_x\), \(\epsilon_y\), \(\epsilon_z\) (déformations en traction) et \(\gamma_{xy}\),\(\gamma_{yz}\),\(\gamma_{zx}\) (déformations en cisaillement).
Champs de contrainte associés aux dislocations
Les figures suivantes montrent des configurations de contraintes analogues à celles que l’on rencontre au voisinage d’une dislocation coin et d’une dislocation vis. Au centre de la dislocation, il existe une région où l’arrangement atomique est très fortement perturbé : cette région s’appelle le cœur de la dislocation, elle a un rayon \(r_0\) de l’ordre de \(3\) à \(5b\). Dans cette partie du cristal, la théorie élastique ne s’applique pas car les déformations sont trop importantes. Par contre, à une distance \(r\), supérieure à \(r_0\), le cristal est déformé élastiquement. On peut évaluer les contraintes à partir de la loi de Hooke. On montre que pour une dislocation rectiligne d’axe \(z\) (axe d’un cylindre infini), en tout point \(\left(r, \theta\right)\) défini en coordonnées polaires, les contraintes sont données par :
\(\sigma _{ij} \left( resp.\tau _{ij} \right) = \frac{\mu b f_{ij} \left(\theta\right) } {2\pi\chi r}\)
où \(i, j = 1\), 2 et 3 (directions de l’espace), \(f_{ij}\left(\theta \right)\) est une fonction trigonométrique de \(\theta\) et \(\chi\) est respectivement égal à 1 pour les dislocations vis et \((1 - \nu)\) pour les dislocations coin. \(\sigma_{ij}\) désigne une contrainte normale si \(i = j\) et une contrainte de cisaillement sur le plan perpendiculaire à \(i\), dans la direction \(j\), si \(i \neq j\) (\(\sigma_{ij}= \sigma_{ji}\)). Les contraintes décroissent comme l’inverse de la distance \(r\) à la dislocation.
Cas des dislocations vis :
une dislocation vis ne provoque que des contraintes de cisaillement dans deux familles de plans; cisaillement parallèle à \(zz’\) dans des plans contenant la dislocation, cisaillement parallèle au plan \(xy\) dans les plans perpendiculaires à la dislocation. Elles sont données par :
\(\tau _{\theta z} = \tau_{z\theta} = \frac{\mu b}{2\pi r}\)
Cas des dislocations coin :
une dislocation coin provoque des contraintes de cisaillement et des contraintes normales. Toutes les contraintes de cisaillement sont relatives au plan \(xy\), elles changent de signe selon l’angle \(\theta\) :
\(\tau _{r\theta} = \tau _{\theta r} = \frac{\mu b .\cos \left(\theta\right)}{2\pi \left( 1 - \nu \right) r}\)
Les contraintes normales sont dans le plan \(xy\) :
\(\sigma _{rr} = \sigma _{\theta \theta} = \frac{\mu b .\sin \left(\theta\right)}{2\pi \left( 1 - \nu \right) r}\)
Énergie des dislocations
La création d’une dislocation dans un cristal requiert une certaine énergie, elle est la somme de l’énergie élastique due aux champs de contrainte et de déformation étudiés précédemment et de l’énergie de cœur (très difficile à évaluer compte tenu du caractère très fortement déformé de cette région, mais généralement faible devant \(E_{\textrm{élastique}}\)).
\(E_{\textrm{dislocation}} = E_{\textrm{élastique}} + E_{\textrm{coeur}} \approx E_{\textrm{élastique}}\)
Lors d’une déformation élastique, le matériau emmagasine, par unité de volume, une énergie :
\(W= \int_{0}^{\epsilon} \sigma d\epsilon = \int_{0}^{\epsilon} E\epsilon d\epsilon = \frac{E\epsilon^2}{2} = \frac{\sigma ^2}{2E}\textrm{; en traction}\)
\(W= \int_{0}^{\gamma} \tau d\gamma = \int_{0}^{\gamma} \mu\gamma d\gamma = \frac{\mu\gamma ^2}{2} = \frac{\tau ^2}{2\mu}\textrm{; en cisaillement}\)
Dans le cas d’une dislocation vis, les seules contraintes sont des contraintes de cisaillement :
\(\frac{dE_{\textrm{élastique}}}{dV} = \frac{\tau ^2}{2\mu}\)
\(\frac{dE_{\textrm{élastique}}}{l.2\pi r dr} = \frac{\tau ^2}{2\mu}\)
\(E_{\textrm{élastique}} = \frac{1}{2\mu} {\left(\frac{\mu b}{2\pi}\right)}^2 \int_{r0}^{R}\frac{2\pi l}{r} dr =\frac{\mu b^2}{4\pi} \log\left(\frac{R}{r_0}\right) \quad \textrm{par unité de longueur}\)
Dans le cas d’une dislocation coin :
\(\frac{dE_{\textrm{élastique}}}{dV} = \frac{E \epsilon ^2}{2}\)
\(\frac{dE_{\textrm{élastique}}}{l.2\pi r dr} = \frac{E b^2}{8\pi r^2}\)
\(E_{\textrm{élastique}} = \frac{\mu b^2}{4\pi \left(1 -\nu\right)} \log\left(\frac{R}{r_0}\right) \quad \textrm{par unité de longueur}\)
Dans le cas général, on peut écrire :
\(E_{\textrm{élastique}} = \frac{\mu b^2}{4\pi \chi} \log\left(\frac{R}{r_0}\right) \quad \textrm{par unité de longueur}\)
avec \(\chi= 1\) pour les dislocations vis, et \(\chi= 1 - \nu\) pour les dislocations coin.
Force agissant sur une dislocation
Par application d’un champ de contrainte extérieur \(\sigma\), il est possible de déplacer une dislocation dans son plan de glissement. La dislocation est alors soumise à une force \(F\), définie par l’équation de Peach et Koehler (\(\vec{l}\) vecteur parallèle à la ligne de dislocation).
\(\vec{F} = \left( { \bar{\bar{\sigma}}} \cdot \vec{b} \right) \wedge \frac{\vec{l}}{l}\) (force par unité de longueur de dislocation)
La force est normale en tout point à la ligne de dislocation.
Interaction élastique entre dislocations
À toute dislocation correspond un champ de contrainte. En conséquence, toute dislocation présente dans un cristal exerce une force sur les autres dislocations. On peut calculer cette force en appliquant la formule de Peach et Koehler. Dans le cas simple de deux dislocations vis parallèles de vecteurs de Burgers \(b\) et \(b’\) distantes de \(r\), la force est :
\(F = \frac{\mu b b\prime}{2\pi r}\)
Multiplication des dislocations
Courbure d'une dislocation
Soit une dislocation ancrée en deux points \(A\) et \(B\) et soumise à une force \(F = \tau bl\), comme indiqué sur le schéma qui précède. Courber la dislocation revient à l’allonger d’une longueur \(dl\). Pour cela, il faut un apport d’énergie défini par \(dE = T dl\) où \(T\) est la tension de ligne de la dislocation \(T \approx \frac{\mu b^2}{2}\). Il s’agit d’une contrainte représentant la résistance de la ligne de dislocation à la déformation. Elle est tangente à la ligne de dislocation en tout point de la dislocation. À l’équilibre, on a :
\(F = 2T \sin\left(\theta \right)\)
\(\tau bl \approx \mu b^2.l/ \left(2R\right)\)
\(1/R \approx 2 \tau / \left( \mu b \right)\)
La courbure de la dislocation est proportionnelle à la contrainte appliquée.
Moulin de Frank-Read
Considérons l’exemple du segment de dislocation ancré en deux points \(A\) et \(B\) distants de \(l\) (présenté sur le schéma précédent). Si on augmente la contrainte, la dislocation prend, sous l’action d’une force en tout point normale à la ligne, les configurations successives indiquées. La troisième position est une position instable qui régit la contrainte maximale au delà de laquelle le mouvement se poursuit inévitablement.
Pour cette position \(R = l/2\) et donc \(\tau _ {critique} = \mu b/l\).
Au-delà de la troisième position, la dislocation poursuit son mouvement dans son plan de glissement. À la cinquième position, les parties qui se rapprochent s’annihilent et il y a régénération du segment initial avec formation d’une boucle. Le processus peut alors recommencer par itération : on parle d’un mécanisme de source de dislocations ou moulin de Frank-Read.
Si l’une des boucles de tête est stoppée par un obstacle (tel un joint de grains, un précipité, une phase étrangère à très fort module, etc), elle crée une contrainte (rétrocontrainte) sur la source dont l’activité peut être arrêtée : il peut alors y avoir formation d’un empilement de dislocations contre l’obstacle. La théorie élastique permet de montrer que la contrainte en tête d’empilement est \(n.\tau\) (\(n\) nombre de dislocations dans l’empilement et \(\tau\) contrainte appliquée). Ainsi dans certains cas, le fait d’appliquer une contrainte \(\tau\) peut entraîner localement à l’intérieur du cristal des contraintes \(n\) fois supérieures. Ceci peut donner lieu à la formation de micro-fissures et provoquer la rupture du cristal.
Dissociation des dislocations
Les dislocations dites parfaites peuvent se scinder en dislocations partielles avec création d’un défaut bidimensionnel ou défaut d’empilement. Les différences de comportement mécanique entre les matériaux proviennent de la facilité ou de la difficulté qu’ont les dislocations à se dissocier.
Quand les dislocations sont dissociées avec création concomitante d’un défaut d’empilement, elles perdent de leur mobilité et le matériau présente une haute faculté d’écrouissage. On peut ainsi caractériser les métaux et les alliages grâce à leur énergie de défaut d’empilement qui se mesure à partir de la distance de dissociation des dislocations partielles. Cette énergie dépend de la structure cristalline, elle est par exemple relativement faible dans les \(\ce{CFC}\). Elle est notée \(\gamma_s\) et est inversement proportionnelle à la distance d de dissociation des dislocations :
\(\gamma _s = \frac{\mu b_1 b_2}{2\pi \chi d}\)
Observation des dislocations
Les dislocations peuvent être mises en évidence par observation au microscope électronique à transmission sur lame minces (\({2000 \, Å}\)) transparentes aux électrons. C’est l’effet du champ de déformation (créé localement par une dislocation) sur la diffraction des électrons qui est responsable du contraste, comme le montre la figure suivante. La distorsion créée par la dislocation met localement les plans cristallins en position de Bragg. Ceux-ci diffractent le faisceau d’électrons et génèrent un contraste sur l’écran fluorescent du microscope.
Les microscopes électroniques à très haute tension (\({1}{\rm \, MV}\)) permettent l’observation de dislocations sur des lames plus épaisses (plusieurs micromètres).
