Effet de paroi
Traînée \[{F}_{D}\][1] et portance sont modifiées quand la particule se déplace près d'une paroi. La condition de non glissement sur une paroi immobile (ce qui est le cas le plus courant) se traduit par une vitesse du fluide nulle ; nous nous attendons donc à des vitesses de particule et donc des nombres de Reynolds faibles (\[R{e}_{p}<1\]). Nous distinguerons différentes situations (la paroi sera supposée plane) [Kim et Lawrence, 1988][2] :
particule se déplaçant parallèlement à la paroi
particule se déplaçant perpendiculairement à la paroi
particule en rotation près de la paroi
particule fixe dans le champ de cisaillement proche de la paroi
On gardera à l'esprit que la présence de la paroi :
augmente toujours la résistance hydrodynamique \[\frac{{F}_{D}}{3\pi \mu {d}_{p}\left({U}_{L}-{U}_{p}\right)}=G\left(2h/{d}_{p}\right)>1\], \[h\] est la distance la plus courte entre la surface de la sphère et le plan.
avec un effet sensible que si \[h<{d}_{P}/2\]
induit l'existence d'un moment sur la particule, qui n'est pas forcément présent loin de la paroi.
[Goldman et coll., 1967][7] a proposé les expressions suivantes (valable seulement si \[h\ll {d}_{P}/2\]) pour les différentes situations :
Courbe a : \[{F}_{D,x}=3\pi \mu {d}_{P}{\left({U}_{L}-{U}_{p}\right)}_{x}\left(\frac{8}{15}\mathrm{ln}\left(\frac{{d}_{p}}{2h}\right)+0,96\right)\]
\[{M}_{D,y}=2\pi \mu {d}_{p}^{2}{\left({U}_{L}-{U}_{p}\right)}_{x}\left(\frac{1}{10}\mathrm{ln}\left(\frac{{d}_{p}}{2h}\right)-0,19\right)\]
Courbe b :\[{F}_{D,z}=3\pi \mu {d}_{p}{\left({U}_{L}-{U}_{p}\right)}_{z}\left(\frac{1}{2h/{d}_{p}}\right)\]
\[{M}_{D,y}=0\]
Courbe c : \[{F}_{D,x}=\frac{3}{2}\pi \mu {d}_{p}^{2}{\Omega }_{y}\left(\frac{2}{15}\mathrm{ln}\left(\frac{{d}_{p}}{2h}\right)-0,253\right)\]
\[{M}_{D,y}=-\pi \mu {d}_{p}^{3}{\Omega }_{y}\left(\frac{2}{5}\mathrm{ln}\left(\frac{{d}_{p}}{2h}\right)+0,38\right)\]
Courbe d : l'expression est plus complexe, on peut cependant en proposer une simple quand la particule repose sur la paroi :
\[{F}_{D,x}=1,7\mathrm{x}\frac{3}{2}\pi \mu {d}_{P}^{2}\dot{\gamma }\]
\[{M}_{D,y}=0,944\mathrm{x}\frac{1}{2}\pi \mu {d}_{P}^{3}\dot{\gamma }\]
L'effet des parois sur la portance a été moins étudié. [Leighton et Acrivos, 1985][8] ont proposé :
\[{F}_{P}=0,576{\rho }_{f}{d}_{P}^{4}\dot{\gamma }\]
Expression à rapprocher de \[{F}_{P}=\frac{\pi }{16}{\rho }_{f}U{d}_{P}^{3}\dot{\gamma }\] (avec \[U={d}_{P}/2\dot{\gamma }\])