Sédimentation d'une particule isolée

Application à la sédimentation de particules dans un liquide au repos

Nous appliquerons ces notions à la sédimentation de particules dans un liquide au repos. On considère une particule sphérique de masse volumique \[{\rho }_{S}\] tombant librement dans un fluide immobile de masse volumique \[{\rho }_{L}\]. L'équation du mouvement (sans tenir compte de la force de masse ajoutée \[{F}_{A}\][1]) régissant le phénomène s'écrit alors :

\[\frac{\pi {d}_{p}^{3}}{6}{\rho }_{S}\frac{d{U}_{p}}{dt}=\frac{\pi {d}_{p}^{3}}{6}g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)-{C}_{D}\frac{\pi {d}_{p}^{2}}{4}\frac{{\rho }_{L}{U}_{p}^{2}}{2}\]

La vitesse terminale de chute \[{u}_{\mathrm{te}}\][2], qui est une vitesse limite, est obtenue pour \[\frac{d{U}_{p}}{dt}=0\] ; elle correspond à la vitesse acquise par la particule, lorsque la force de frottement est égale au poids apparent de la particule.

\[{U}_{tc}={\left(\frac{{4d}_{P}}{{3C}_{D}}g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)/{\rho }_{L}\right)}^{1/2}\]

L'équation suivante indique le temps que met la particule pour atteindre sa vitesse limite. Pour des particules micrométriques sédimentant dans l'eau, ce temps est court devant le temps de sédimentation.

\[\tau ={\rho }_{S}{U}_{tc}/\left(g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)\right)\]

Sous une forme sans dimensions avec \[U\mathrm{'}={U}_{p}/{U}_{tc},t\mathrm{'}=t{U}_{tc}/{d}_{p}\] :

\[{U}_{tc}\], la vitesse limite, est caractérisée par :

\[Ar=\frac{3}{4}{C}_{D}R{e}_{p}^{2}\]

avec \[R{e}_{p}=\frac{{d}_{p}{U}_{tc}}{\nu }\] et \[Ar=\frac{{d}_{p}^{3}g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)}{{\nu }^{2}{\rho }_{L}}\]

\[\mathrm{Ar}\][3] est le nombre d'Archimède.

Le régime instationnaire obéit à :

\[\frac{{\rho }_{S}}{{\rho }_{L}}\frac{{dU}\mathrm{'}}{{dt}\mathrm{'}}=\frac{3}{4}{C}_{D}\left(1-\frac{{C}_{D}\left(U\mathrm{'}\right)}{{C}_{D}}U{\mathrm{'}}^{2}\right)\]

On retrouve le même temps caractéristique (mais, écrit sous une forme sans dimensions) :

\[\tau \mathrm{'}=\frac{4{\rho }_{S}}{3{\rho }_{L}{C}_{D}}\]

Pour un faible nombre de Reynolds particulaire (\[R{e}_{p}<1\]), la vitesse sans dimension obéit à :

\[U\mathrm{'}=1-{e}^{-t\mathrm{'}/\tau \mathrm{'}}\]

avec \[\tau \mathrm{'}=\frac{R{e}_{p}{\rho }_{S}}{18{\rho }_{L}}\].

Quels sont les effets des forces de masse ajoutée et de Basset ?

La force de masse ajoutée \[{F}_{A}\][1] ne modifie pas la vitesse terminale de chute, mais affecte légèrement le temps caractéristique (pour mémoire : \[{\rho }_{S}{V}_{P}{{dU}}_{P}/{dt}=-\frac{1}{2}{\rho }_{L}{V}_{P}d\left({U}_{P}-{U}_{L}\right)/{dt}+{\rho }_{L}{V}_{P}{{dU}}_{L}/{dt}+{F}_{D}+{F}_{P}+{F}_{G}+{F}_{B}\]) :

\[\tau =\left({\rho }_{S}+{\rho }_{L}/2\right){U}_{tc}/\left(g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)\right)\]

La force de Basset \[{F}_{B}\][4] modifie vitesse terminale de chute et temps caractéristique. On peut estimer l'importance de cette force en calculant le rapport\[{F}_{B}/{F}_{G}\] : on remplace dans l'intégrale (pour mémoire : \[{F}_{B}=3/2{\rho }_{L}{\pi }^{1/2}{\nu }_{1/2}{d}_{p}^{2}\underset{\mathrm{t0}}{\overset{t}{\int }}{dt}\mathrm{'}{\left(t-t\mathrm{'}\right)}^{-1/2}d\left({U}_{L}-{U}_{P}\right)/{dt}\mathrm{'}\]) la vitesse de la particule par \[{U}_{p}={U}_{tc}\left(1-{e}^{-t\mathrm{'}/\tau \mathrm{'}}\right)\] :

\[\frac{{F}_{B}}{{F}_{G}}=-{\left(R\frac{{e}_{p}}{\pi }\right)}^{1/2}\frac{1}{\tau \mathrm{'}}{e}^{-t\mathrm{'}/\tau \mathrm{'}}\underset{0}{\overset{{\left(t\mathrm{'}/\tau \mathrm{'}\right)}^{1/2}}{\int }}{e}^{{x}^{2}}{dx}\]

On montre facilement que, pour \[t\mathrm{'}/\tau \mathrm{'}>1\] :

\[\frac{{F}_{B}}{{F}_{G}}\approx -{\left(\frac{R{e}_{p}}{\pi }\right)}^{1/2}\frac{1}{2\tau \mathrm{'}}{\left(t\mathrm{'}/\tau \mathrm{'}\right)}^{-1/2}\]

La figure ci-dessous représente le rapport \[{F}_{B}/{F}_{G}\] en fonction du temps sans dimension pour différents nombres de Reynolds \[R{e}_{p}\] et rapports de masse volumique \[\frac{{\rho }_{L}}{{\rho }_{S}}\].

Rapport FB /FG en fonction du rapport de masses volumiques et du nombre de Reynolds
Rapport FB /FG en fonction du rapport de masses volumiques et du nombre de ReynoldsInformations[5]

Comment étendre ces notions à la sédimentation d'une particule dans un réacteur de cristallisation-précipitation ou un tube dans lequel l'écoulement est turbulent ?

Comment étendre ces notions à la sédimentation d'une particule dans un réacteur de cristallisation-précipitation ou un tube dans lequel l'écoulement est turbulent ? En fait, ce problème est directement lié à ceux de la mise en suspension d'une particule déposée (au fond du réacteur) et de la non-redéposition ; dans ces derniers cas, cela se traduit par une vitesse minimale d'agitation ou d'écoulement au-delà de laquelle la particule reste ou parvient dans la suspension.

Considérons le cas de la non-redéposition. Une première approche [Molerus et Latzel, 1987][6], qui suppose que la sédimentation se produit le long des parois (dans la couche limite turbulente), consiste à écrire l'égalité entre le poids apparent \[{F}_{G}\][7] et la force de frottement (calculée à la paroi) exercée par le fluide sur la particule. Une seconde approche [Voit et Mersmann, 1985][8], qui suppose que la sédimentation peut avoir lieu à partir de n'importe quel endroit dans le réacteur, consiste à écrire l'égalité entre la vitesse terminale de chute et la vitesse ascendante moyenne du fluide :

\[{\left(\frac{4{d}_{p}\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)g}{3{C}_{D}{\rho }_{L}}\right)}^{1/2}=\frac{4}{\pi }{N}_{Q}ND{\left(\frac{{D}_{T}}{T}\right)}^{2}\]

\[{N}_{Q}\] est le nombre de pompage.

On fait ainsi apparaître \[\mathrm{Fr}{\mathrm{'}}_{\left(p\right)}\][9], le nombre de Froude modifié : \[{\mathrm{Fr}}_{p}^{\mathrm{'}}=\frac{{U}_{L}^{2}{\rho }_{L}}{{d}_{p}\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)g}\]. Dans le cas du réacteur agité, \[{U}_{L}\] est égal à \[ND\] ; dans le cas du tube, \[{U}_{L}\] est la vitesse moyenne d'écoulement. L'équation précédente montre que la vitesse de maintien en suspension sera donnée par un nombre de Froude modifié constant pour une géométrie donnée.

[Rieger et Ditl, 1994][10] présentent un résumé des corrélations liant les différents nombres sans dimensions pertinents (\[\mathrm{Fr}=\frac{{N}^{2}D{\rho }_{L}}{\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)g}\], \[Re=N{D}^{2}/\nu \], \[Ar\], \[{d}_{p}/{D}_{T}\]) pour toutes les situations.