Les moments
Le bilan de population est aussi souvent écrit en termes de moments.
Définition : le moment en taille
On définit le moment en tailles \[{m}_{L,j}\] d'ordre \(j\) de la distribution \[n\left(L,t\right)\] :
Le moment d'ordre 0 est donc proportionnel à un nombre, \[{m}_{L,0}={\int }_{0}^{\infty }n{dL}\]
le moment d'ordre 1 \[{m}_{L,1}={\int }_{0}^{\infty }nL{dL}\] à une longueur,
le moment d'ordre 2 \[{m}_{L,2}={\int }_{0}^{\infty }n{L}^{2}{dL}\] à une surface,
et le moment d'ordre 3 \[{m}_{L,3}={\int }_{0}^{\infty }n{L}^{3}{dL}\]à un volume, une masse \[{\int }_{0}^{\infty }{\phi }_{V}{\rho }_{\mathrm{solide}}n{L}^{3}{dL}\] ou un nombre de moles \[{\int }_{0}^{\infty }\frac{{\phi }_{V}{\rho }_{\mathrm{solide}}}{{M}_{\mathrm{solide}}}n{L}^{3}{dL}\].
Remarque :
Par la suite pour simplifier les notations, le moment en tailles sera noté : \[{m}_{j}\].
L'intérêt d'utiliser des moments permet de calculer assez simplement des grandeurs moyennes telles que des tailles et écarts types (ou variances) :
Le diamètre moyen en nombre \[{L}_{1,0}\], en surface (ou diamètre de Sauter) \[{L}_{3,2}\] et en masse (ou volume) \[{L}_{4,3}\] seront calculés par :
\[{L}_{1,0}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{0}}\], \[{L}_{3,2}=\frac{{m}_{3}}{{m}_{2}}\] et \[{L}_{4,3}=\frac{{m}_{4}}{{m}_{3}}\].
Les écarts-types réduits en nombre \[{\sigma }_{N}\], en surface \[{\sigma }_{S}\] et en masse \[{\sigma }_{M}\] seront calculés par :
\[{\sigma }_{N}={\left(\frac{{m}_{2}{m}_{0}}{{{m}_{1}}^{2}}-1\right)}^{1/2}\], \[{\sigma }_{S}={\left(\frac{{m}_{4}{m}_{2}}{{{m}_{3}}^{2}}-1\right)}^{1/2}\] et \[{\sigma }_{M}={\left(\frac{{m}_{5}{m}_{3}}{{{m}_{4}}^{2}}-1\right)}^{1/2}\]
Complément :
Pour plus de précisions sur les diamètres moyens et variances d'une distribution de tailles :
voir le cours sur les Sciences et Technologies des Poudres[1].
Définition :
On peut définir de la même manière le moment en surface d'ordre \(j\) \[{m}_{s,j}={\int }_{0}^{\infty }{s}_{p}^{j}{n}_{s}{{ds}}_{p}\] et le moment en volume d'ordre \(j\) \[{m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{j}{n}_{v}{{dv}}_{p}\].
Remarque :
Il existe des relations entre les différents moments exprimés en taille, surface ou volume.
Par exemple quelle est la relation entre un moment en volume et un moment en taille ?
Le nombre de cristaux dont la taille \(L\) est comprise dans la classe de taille \[\left[L;L+{dL}\right]\] par unité de volume de suspension est égal à :
Le nombre de cristaux dont le volume \[{v}_{p}\] est compris dans la classe \[\left[{v}_{p};{v}_{p}+{{dv}}_{p}\right]\] est égal à :
avec \[{v}_{p}={\phi }_{v}{L}^{3}\].
Le nombre de cristaux par unité de volume de suspension étant indépendant de la représentation choisie en volume ou nombre, on a :
En terme de moments \[{m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{j}{n}_{v}{{dv}}_{p}\]
soit \[{m}_{v,j}={\int }_{0}^{\infty }{\left({\phi }_{v}{L}^{3}\right)}^{j}n{dL}\]
soit pour un facteur de forme en volume constant en fonction de \(L\) :
En procédant de même avec le moment en surface, sachant que \[{s}_{p}={\phi }_{s}{L}^{2}\] on arrive à :