Vitesse de croissance dépendante de la taille

Dans le cas où la vitesse de croissance dépend de la taille, par exemple pour une vitesse de croissance limitée par la diffusion (voir les Facteurs influençant la croissance cristalline[1]), le bilan \[V\frac{\partial \left[\mathrm{nG}\right]}{\partial L}=-{Q}_{s}.n\] ne peut être intégré si une loi de vitesse de croissance en fonction de la taille n'est pas connue.

Dans le cas où la vitesse de croissance linéaire G dépend de la taille selon une loi du type ( Jancic et Groostsholten, 1984[2]) :

\[G={G}_{0}{\left(1+\frac{L}{{G}_{0}\tau }\right)}^{b}\]

modèle d'Abbeg, Stevens et Larson encore appelé modèle ASL

où \[{G}_{0}\] est la vitesse de croissance de très petits cristaux \[\left(L0\right)\]et l'exposant b décrit les effets de la taille du cristal, la densité de population en sortie de cristallisoir s'écrit :

\[n\left(L\right)={n}_{0}{\left(1+\frac{L}{{G}_{0}\tau }\right)}^{-b}\mathrm{exp}\left(\frac{1-{\left(1+\frac{L}{{G}_{0}\tau }\right)}^{1-b}}{1-b}\right)\]

Pour des valeurs de b nulles, on retrouve le cas idéal du MSMPR[3]. Des valeurs de b négatives représentent de faibles vitesses de croissance pour des gros cristaux, alors que des valeurs positives sont obtenues pour de fortes vitesses de croissance pour des petits cristaux ( Garside et Coll., 2002[4]).