Cercles de Mohr
Pour savoir si un bloc de poudre va se rompre, il nous faut connaître la distribution de contraintes en volume. Un simple rappel de mécanique des solides nous y aidera : si on considère un cube élémentaire découpé dans le volume de l'échantillon, les forces exercées par le milieu extérieur sur chaque facette de ce cube ne sont pas forcément normales (voir figure ci-dessous). Les projections normales et tangentielles sont appelées contraintes normales et tangentielles respectivement.
En se restreignant à deux dimensions, la figure suivante donne les conventions de signe utilisées par les mécaniciens des sols. L'équilibre mécanique de l'élément de surface impose un moment nul et donc on a :
\(\tau_{xy}=-\tau_{xy}\)
Mais il ne suffit pas de tester le critère de Coulomb sur les seuls axes \(x\) et \(y\) du repère. Il nous faut aussi connaître les valeurs des contraintes \(\tau_{uv}\) et \(\sigma_{uu}\) pour une orientation quelconque d'angle \(\theta\) des axes \(u\) et \(v\). Pour cela, écrivons l'équilibre mécanique du triangle présenté en figure ci-dessous : en a) nous avons les contraintes s'appliquant sur les trois facettes et en b) les forces.
En projetant parallèlement et orthogonalement à l'hypoténuse, il vient :
\(\sigma=\sigma_{xx} \cos\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-\tau_{xy}\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)+\sigma_{yy}\sin\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)+\tau_{xy}\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)\)
\(\tau=\sigma_{xx} \cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)+\tau_{xy}\cos\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-\sigma_{yy}\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)+\tau_{yx}\sin\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)\)
En utilisant les relations trigonométriques de l'angle double et :
\(p=\frac{1}{2}\left(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}\right)\)
\(R^2=\frac{1}{4}\left(\sigma_{xx}-\sigma_{yy}\right)^2+\tau_{xy}\)
\(\tan \left(\lambda\right)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}\)
on aboutit à :
\(\sigma=p+R\cos \left(2 \theta + 2 \lambda\right)\)
\(\tau=R\sin \left(2 \theta + 2 \lambda\right)\)
où l'on reconnaît l'équation d'un cercle de rayon \(R\), centré en \((p,0)\) dans le plan \((\sigma,\tau)\). Les contraintes en un point quelconque d'un matériau isotrope se situent sur un tel cercle appelé cercle de Mohr.
Remarque :
Dans le cas d'un liquide, le cercle de Mohr se réduit à un point.
Quand on tourne d'un angle \(\theta\) dans l'espace réel, il faut se déplacer d'un angle double dans l'espace des contraintes.
Il existe deux points remarquables sur ce cercle, d'abscisses notées \(\sigma_1\) et \(\sigma_3\) sur la figure ci-dessous : dans deux directions perpendiculaires dans l'espace réel, les contraintes de cisaillement \(\tau\) s'annulent. Ces directions sont appelées directions principales.
Dans le même plan des contraintes, il est aisé de tracer le critère de Coulomb. On peut alors distinguer trois possibilités (voir figure 8) :
le cercle ne coupe pas le critère de Coulomb. Dans ce cas, il n'y aura pas de glissement sur aucun des plans passant par le point en question.
La ligne de Coulomb tangente le cercle de Mohr : dans la direction définie par le point de tangence S, le critère sera vérifiée, et un glissement pourra alors être observé ou non. L'importance du glissement dépend des conditions de mouvement des frontières du milieu granulaire. Un tel point est dit en état de rupture.
Le critère coupe le cercle de Mohr. Dans ce cas, il existe des plans pour lesquels on a : \(\tau > \mu \sigma + c\), ce qui n'est pas permis : le cercle de Mohr ne peut pas traverser la ligne de Coulomb.
En fait, le critère de Coulomb concerne l'ordre de magnitude de la contrainte de cisaillement et le critère de rupture s'écrit en fait :
\(|\tau|=\mu \sigma+c\)
Il est donc représenté par une paire de lignes, comme sur la figure ci-dessus, définissant deux directions \(S\) et \(S'\) où le glissement peut avoir lieu. Ces plans de glissement et les axes principaux sont données dans l'espace réel en figure ci-dessous.
