Diamètres moyens
La représentation graphique d'une distribution n'est pas très maniable, il est souvent utile de déterminer un ou plusieurs paramètres caractéristiques de la distribution, que l'on nomme de façon générique, valeurs numériques représentatives. Le diamètre moyen arithmétique (\(d_a\)) correspond, pour un échantillon fractionné en \(n\) classes de diamètres représentatifs \(x_i\) et de fréquences normées \(f_i\) à :
\(\bar{x}= \sum_{i=1} ^n f_i x_i\)
Si les fréquences ne sont pas normées :
\(\bar{x}= \frac{\sum_{i=1} ^n f_i x_i}{\sum_{i=1} ^n f_i}\)
Suivant que la fréquence (normée) considérée correspond au nombre (\(n_i\)), à la surface (\(s_i\)) ou au volume (\(v_i\)), une pondération différente est appliquée au calcul de la moyenne. Pour une même distribution, on a toujours \(\bar{x_n}<\bar{x_S}<\bar{x_V}\).
Moyenne arithmétique en nombre : \(\bar{x_n}=\frac{\sum_{i=1}^n n_i x_i}{\sum_{i=1}^n n_i}\)
Moyenne arithmétique en surface : \(\bar{x_S}=\frac{\sum_{i=1}^n S_i x_i}{\sum_{i=1}^n S_i}\)
Moyenne arithmétique en volume (ou en masse) : \(\bar{x_v}= \frac{\sum_{i=1} ^n v_i x_i}{\sum_{i=1} ^n v_i}\)
De façon plus générale, le diamètre moyen s'exprime par :
\(\bar{x_{pq}}= \left( \frac{\sum_{i=1} ^n n_i x_i^p}{\sum_{i=1} ^n n_i x_i^q} \right) ^{\frac{1}{p-q}}\) avec \(p\) et \(q\) entiers et \(p > q\), et \(n_i\) fréquence en nombre (normée).
Un ensemble de particules de tailles inégales peut être représenté par un système de particules de tailles égales, qui permet de conserver deux caractéristiques (et deux seulement) de l'ensemble initial, choisies parmi les suivantes : le nombre total de particules ainsi que leur longueur totale, surface totale et volume total. Les entiers \(p\) et \(q\) sont les puissances du diamètre dans les expressions considérées (0 pour le nombre, 1 pour la longueur, 2 pour la surface et 3 pour le volume). On a rassemblé les différentes définitions des diamètres moyens dans le tableau ci-dessous.
\(p\) | \(q\) | symbole | expression | signification |
|---|---|---|---|---|
1 | 0 | \(x_{10}\) | \(\sum_{i=1}^n n_i x_i\) | Moyenne arithmétique en nombre |
2 | 0 | \(x_{20}\) | \(\left( \sum_{i=1}^n n_i x_i^2 \right)^2\) | Moyenne en surface et en nombre |
3 | 0 | \(x_{30}\) | \(\left( \sum_{i=1}^n n_i x_i^3 \right)^3\) | Moyenne en volume et en nombre |
2 | 1 | \(x_{21}\) | \(\frac{\sum_{i=1}^n n_i x_i^2}{\sum_{i=1}^n n_i x_i}\) | Moyenne en surface et en longueur |
3 | 1 | \(x_{31}\) | \(\left(\frac{\sum_{i=1}^n n_i x_i^3}{\sum_{i=1}^n n_i x_i}\right)^{\frac{1}{2}}\) | Moyenne en volume et en longueur |
3 | 2 | \(x_{32}\), \(d_s\) | \(\frac{\sum_{i=1}^n n_i x_i^3}{\sum_{i=1}^n n_i x_i^2}\) | Moyenne en volume et en surface (Sauter) |
4 | 3 | \(x_{43}\) | \(\frac{\sum_{i=1}^n n_i x_i^4}{\sum_{i=1}^n n_i x_i^3}\) | Moyenne en volume, ou en poids |
Remarque :
Pour une analyse en masse comme le tamisage, les données obtenues sont les \(m_i\) (masse de particules retenue dans chaque classe) et dans ce cas il est pratique d'écrire les formules précédentes comme suit, sachant que \(m_i=n_i .x_i^3\) :
Moyenne arithmétique en nombre \(\bar{x_n}=x_{10}=\frac{\sum_{i=1}^n \frac{m_i}{x_i^2}}{\sum_{i=1}^n \frac{m_i}{x_i^3}}\)
Moyenne arithmétique en surface et en volume \(\bar{x_{SV}}=x_{32}=\frac{\sum_{i=1}^n {m_i}}{\sum_{i=1}^n \frac{m_i}{x_i}}\)
Moyenne arithmétique en volume \(\bar{x_{V}}=x_{43}=\frac{\sum_{i=1}^n {m_i x_i}}{\sum_{i=1}^n {m_i}}\)
Exemple : Calcul de différents diamètres moyens pour une distibution granulométrique donnée
Considérons des particules sphériques de masse volumique \({1000}{\, \rm kg/m^3}\) dont la granulométrie est représentée dans le tableau ci-dessous (les données mesurées sont les \(n_i\), \(s_i \)et \(m_i\) sont calculés) :
\(x_i\) (\({\rm cm}\)) | \(n_i\) | \(s_i\) (\({\rm m^2}\)) | \(m_i\) (\({\rm m^3}\)) | \(n_i.x_i\) | \(s_i.x_i\) | \(m_i.x_i\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
2,1 | 1 | 0,0039 | 0,0001 | 2,1 | 0,01 | 0,0002 |
3,9 | 4 | 0,0535 | 0,0027 | 15,6 | 0,21 | 0,0106 |
7,2 | 15 | 0,6843 | 0,0640 | 108 | 4,93 | 0,4604 |
13,3 | 31 | 4,8256 | 0,8330 | 412,3 | 64,18 | 11,08 |
24,6 | 29 | 15,4440 | 4,9312 | 713,4 | 379,92 | 121,31 |
45,7 | 14 | 25,7306 | 15,2626 | 639,8 | 1175,89 | 697,5 |
84,7 | 5 | 31,5665 | 34,7034 | 423,5 | 2673,69 | 2939,38 |
157 | 1 | 21,6915 | 44,2029 | 157 | 3405,56 | 6939,86 |
Diamètre moyen en nombre = 24,7
Diamètre moyen en surface = 77
Diamètre moyen en masse = 107,1
On retrouve bien l'importance de la pondération dans le calcul de ces moyennes. La moyenne en volume donne beaucoup d'importance aux plus grosses particules, et c'est la moyenne en nombre qui permet de mieux tenir compte de la présence des fines. Pour s'en souvenir on peut se rappeler que le volume d'une sphère de \({10}{\, \rm \mu m}\) est égal au volume de 1000 sphères de \({1}{\, \rm \mu m}\).