Les pores
La taille moyenne des pores peut être définie en fonction du diamètre hydraulique :
Pour un tube cylindrique de diamètre \(D_\textrm{tube}\) le diamètre hydraulique \(m\) est
\(m=\frac{\textrm{Volume du tube}}{\textrm{Surface du tube}}=\frac{\textrm{Longueur } \times \textrm{ section}}{\textrm{Longueur } \times \textrm{ périmètre}}=\frac{L\pi D_\textrm{tube}^2/4}{L\pi D_\textrm{tube}}=\frac{D_\textrm{tube}}{4}\)
Pour un tube avec une section de triangle équilatérale de cote \(l\)
\(m=\frac{\textrm{Volume du tube}}{\textrm{Surface du tube}}=\frac{\textrm{Longueur } \times \textrm{ section}}{\textrm{Longueur } \times \textrm{ périmètre}}=\frac{LI_\textrm{tube}^2\sqrt{3}/4}{L 3I_\textrm{tube}}=\frac{I_\textrm{tube}}{7}\)
En général
\(m=\frac{\textrm{dimension caractéristique}}{\textrm{facteur de forme}}=\frac{d_\textrm{caractéristique}}{k}\)
Pour un lit de poudre
\(m=\frac{\textrm{Volume des pores}}{\textrm{Surface du solide}}=\frac{\varepsilon}{S}=\frac{\varepsilon}{S_0 \left(1-\varepsilon\right)}=\frac{D_{\rm SV}}{6k}\frac{\varepsilon}{\left(1-\varepsilon\right)}\)
Complément :
La loi de Poiseuille qui donne la relation entre la perte de charge et la vitesse d'écoulement des fluides dans un tube cylindrique peut s'exprimer en terme de diamètre du tube ou bien à partir du diamètre hydraulique
\(v_\textrm{tube}=\frac{D_{\textrm{tube}} ^2 \Delta P}{32\eta L}=\frac{m^2 \Delta P}{2\eta L}\)
On peut appliquer ceci à l'écoulement des fluides dans un lit de poudre
\(v_\textrm{pores}=\frac{m^2 \Delta P}{2\eta L}=\frac{1}{S_0^2 k^2}\frac{\varepsilon^2}{\left( 1-\varepsilon^2\right)}\frac{\Delta P}{2 \eta L}\)
Et si on multiplie la vitesse dans les pores par la porosité, on obtient la vitesse apparente dans le lit dans la forme de la loi de Kozeny–Carman :
\(v_\textrm{pores} \varepsilon=\frac{1}{S_0^2 2k^2}\frac{\varepsilon^2}{\left( 1-\varepsilon^2\right)}\frac{\Delta P}{\eta L}=\frac{1}{S_0^2 h_k}\frac{\varepsilon^2}{\left( 1-\varepsilon^2\right)}\frac{\Delta P}{\eta L}=\frac{D_{\rm SV}^2}{36 h_k}\frac{\varepsilon^2}{\left( 1-\varepsilon^2\right)}\frac{\Delta P}{\eta L}\)