Au cœur des matériaux cristallins

On appelle rangée réticulaire (ou direction cristallographique) toute droite passant par deux nœuds du réseau. Les nœuds sont repérés par leurs coordonnées dans le système défini par les vecteurs primitifs \(a\), \(b\) et \(c\), comme cela est décrit sur le schéma suivant.

Si l’un des nœuds correspond à l’origine du réseau, on peut désigner la rangée par les coordonnées \(u\), \(v\) et \(w\) du nœud le plus proche de l’origine appartenant à la droite. Ces rangées sont notées [u,v,w] et l’ensemble des rangées se déduisant les unes des autres par des opérations de symétrie constitue une forme de rangée et se note \(<u,v,w>\).

Les nœuds du réseau peuvent être regroupés en plans parallèles et équidistants : on obtient ainsi une famille de plans réticulaires. Considérons deux plans voisins dont un passe par l’origine du réseau ; le deuxième plan coupe les axes \(a\), \(b\) et \(c\) définissant la maille cristalline en \(a/h\), \(b/k\) et \(c/l\). Les nombres entiers \(h\), \(k\) et \(l\) premiers entre eux, positifs ou négatifs, représentent les indices de Miller de la famille de plans réticulaires considérée. On la note \((h,k,l)\) et l’ensemble des familles de plans se déduisant les unes des autres par des opérations de symétrie constitue une forme de plan et est notée \(\{h,k,l\}\).

Les plans d’une famille \((h,k,l)\) sont équidistants. Cette équidistance ou distance inter-réticulaire notée \(d_{hkl}\) diminue lorsque les indices de Miller augmentent. Simultanément la densité des nœuds dans ces plans diminue.

De manière générale, la distance interéticulaire d’une forme de plan \((h,k,l)\) s’écrit :

\(d_{hkl} = \sqrt{\frac{1-\cos^2\left(\alpha\right)-\cos^2\left(\beta\right)-\cos^2\left(\gamma\right) + 2\cos\left(\alpha\right).\cos\left(\beta\right).\cos\left(\gamma\right)}{\frac{h^2}{a^2}\sin^2\left(\alpha\right)+\frac{k^2}{a^2}\sin^2\left(\beta\right)+\frac{l^2}{a^2}\sin^2\left(\gamma\right) - \frac{2kl}{bc}\left( \cos\left(\alpha\right) - \cos\left(\beta\right) . \cos\left(\gamma\right)\right) - \frac{2lh}{ca} \left( \cos \left( \beta \right) - \cos\left(\gamma\right) . \cos\left(\alpha\right)\right) - \frac{2hk}{ab}\left( \cos\left(\gamma\right) - \cos\left(\alpha\right) . \cos\left(\beta\right)\right)}}\)

Pour le système cubique, on démontre que :

\(d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}} \quad\) avec \(a\) paramètre de maille, et \(h\), \(k\) et \(l\) indices de Miller, \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) les angles entre \(b\) et \(c\), \(a\) et \(c\), et \(a\) et \(b\) respectivement.

Lorsque des familles de plans cristallographiques sont parallèles à une même direction \([u,v,w]\), on dit qu’elles forment une zone d’axe \([u,v,w]\). La condition pour que les plans \((h,k,l)\) appartiennent à la zone \([u,v,w]\) s’exprime par :

\(hu + kv + lw = 0\)