Exercice : Calcul d'échelles caractéristiques

Il est important de connaître les valeurs relatives des tailles de particules et des échelles de turbulence, afin de déterminer les régimes prépondérants pour le mouvement relatif des particules et les transferts autour de ces particules.

Dans une cuve agitée cylindrique de diamètre \[{D}_{T}=H=\mathrm{0,2 m}\] contenant de l'eau (\[{\rho }_{L}=1000{\mathrm{kg.m}}^{–3}\], \[\nu ={10}^{–6}{m}^{2}.{s}^{–1}\]), agitée à la vitesse de 5 tours par seconde par un mobile d'agitation profilé (\[{N}_{p}=0,8\]) de diamètre \[D={D}_{T}/3\], on voudrait connaître les valeurs de l'énergie dissipée par unité de masse de fluide et des échelles de Kolmogoroff et de Batchelor.

Question

Quels vont être les régimes hydrodynamiques subis par des particules suspendues de \[200\mathrm{nm}\] (diffusivité \[{D}_{m}={10}^{–11}{\mathrm{m}}^{2}.{\mathrm{s}}^{–1}\]), \[20\mu m\] et \[200\mu m\] ?

Indice

On supposera pour simplifier que la présence éventuelle de particules solides suspendues n'affecte pas l'hydrodynamique. On calculera les échelles par les formules données dans le cours[1].

Question

Que peut-on dire si on double la vitesse d'agitation à géométrie constante ?

Indice

Regarder comment l'énergie dissipée varie avec la vitesse d'agitation.

Question

Et si on prend une cuve homothétique de \[1m\] de diamètre (\[D\] vaut toujours \[{D}_{T}/3\] et \[{D}_{T}=H\]) à la même vitesse d'agitation ? Ou cette grande cuve avec la même énergie dissipée? Que vaut alors la vitesse d'agitation ? Commentez les différences.