Cas d'un corps dissocié [Cristal Gemme]

Cas d'un corps dissocié

Dans le cas d'un électrolyte de type \[{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}\], totalement dissocié (\[X=1\]) , le potentiel chimique s'écrit :

\[{\mu }_{{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}\left(T,P\right)={\mu }_{{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{\left(0\right)}\left(T\right)+\left(m+n\right)RT\mathrm{ln}\left({a}_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}\right)\]

En terme de sursaturation on obtient donc :

\[\Delta {\mu }_{{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}\left(T,P\right)={\mu }_{{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{L}-{\mu }_{{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{L,\mathrm{eq}}\]

soit

\[\Delta {\mu }_{{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}\left(T,P\right)=\left(m+n\right)RT\mathrm{ln}\left(\frac{{a}_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}}{{a}_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{\mathrm{eq}}}\right)=\alpha RT\mathrm{ln}\left(\frac{{a}_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}}{{a}_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{\mathrm{eq}}}\right)\]

Différentes expressions de la sursaturation exprimée en activité pour une molécule dissociée
Sursaturation	en activité
rapport de sursaturation	\(S_{i,a}=\frac{a_{\pm, {A_{m}^{z_A}B_{n}^{z_B}}}} {a_{\pm, {A_{m}^{z_A}B_{n}^{z_B}}}^{eq}}\)
sursaturation relative	\(\sigma_{i,a}=S-1\)
sursaturation absolue	\(\Delta C_{i,a}={a_{\pm, {A_{m}^{z_A}B_{n}^{z_B}}}} - {a_{\pm, {A_{m}^{z_A}B_{n}^{z_B}}}^{eq}}\)

Comme \[{a}_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}={\left({a}_{{A}^{{z}_{A}}}^{m}{a}_{{B}^{{z}_{B}}}^{n}\right)}^{\frac{1}{m+n}}\] et \[{\gamma }_{±,,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}={\left({\gamma }_{{A}^{{z}_{A}}}^{m}{\gamma }_{{B}^{{z}_{B}}}^{n}\right)}^{\frac{1}{m+n}}\]

on obtient \[{a}_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}={\left({\gamma }_{{A}^{{z}_{A}}}^{m}{C}_{{A}^{{z}_{A}}}^{m}{\gamma }_{{B}^{{z}_{B}}}^{n}{C}_{{B}^{{z}_{B}}}^{n}\right)}^{\frac{1}{m+n}}={\left({\gamma }_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{\left(m+n\right)}{C}_{{A}^{{z}_{A}}}^{m}{C}_{{B}^{{z}_{B}}}^{n}\right)}^{\frac{1}{m+n}}={\gamma }_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}{\left({C}_{{A}^{{z}_{A}}}^{m}{C}_{{B}^{{z}_{B}}}^{n}\right)}^{\frac{1}{m+n}}\]

et à l'équilibre \[{a}_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{\mathrm{eq}}={\left({\gamma }_{{A}^{{z}_{A}}}^{\mathrm{eq}m}{C}_{{A}^{{z}_{A}}}^{\mathrm{eq}m}{\gamma }_{{B}^{{z}_{B}}}^{\mathrm{eq}n}{C}_{{B}^{{z}_{B}}}^{\mathrm{eq}n}\right)}^{\frac{1}{m+n}}={\left({\gamma }_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{\left(\mathrm{eq}m+n\right)}{C}_{{A}^{{z}_{A}}}^{\mathrm{eq}m}{C}_{{B}^{{z}_{B}}}^{\mathrm{eq}n}\right)}^{\frac{1}{m+n}}={\gamma }_{±,{A}_{m}^{{z}_{A}}{B}_{n}^{{z}_{B}}}^{\mathrm{eq}}{\left({C}_{{A}^{{z}_{A}}}^{\mathrm{eq}m}{C}_{{B}^{{z}_{B}}}^{\mathrm{eq}n}\right)}^{\frac{1}{m+n}}\]

Différentes expressions de la sursaturation exprimée en concentration pour une molécule dissociée
Sursaturation	en concentration
rapport de sursaturation	\(S_{i,a}= \frac{\gamma_{\pm,{A_{m}^{z_A}B_{n}^{z_B}}}\left( C_{A^{z_A}}^m C_{B^{z_B}}^n \right)^{\frac{1}{m+n}}} {\gamma_{\pm,{A_{m}^{z_A}B_{n}^{z_B}}}^eq \left( C_{A^{z_A}}^{eq, m} C_{B^{z_B}}^{eq, n} \right)^{\frac{1}{m+n}}}\)
sursaturation relative	\(\sigma_{i,a}=S-1\)
sursaturation absolue	\(\Delta C_{i,a}=\gamma_{\pm,{A_{m}^{z_A}B_{n}^{z_B}}}\left( C_{A^{z_A}}^m C_{B^{z_B}}^n \right)^{\frac{1} {m+n}} -\gamma_{\pm,{A_{m}^{z_A}B_{n}^{z_B}}}^{eq} \left( C_{A^{z_A}}^{eq, m} C_{B^{z_B}}^{eq, n} \right)^{\frac{1}{m+n}}\)