Deux principales étapes dans le mécanisme de croissance

Plus spécifiquement, la croissance en solution commence par le transport de matière de la solution vers la surface du cristal par diffusion, convection ou une combinaison des deux, suivi de l'intégration au réseau cristallin ( Söhnel, 1992[1]).

Le flux massique de soluté est donné par l'équation :

\[\frac{{{dm}}_{p}}{{dt}}={K}_{G}{A}_{p}M{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{g}\]

où \(K_G\) est le coefficient global de la croissance cristalline et\[g\] l'ordre global du processus de cristallisation.

\(M\) est la masse molaire du soluté.

\(dm_p\) est la masse de solide déposé pendant le temps \(dt\), \(A_p\) la surface du cristal (m2), \[C\] la concentration (mol/m3) du soluté en solution (sursaturée), \[{C}^{\mathrm{eq}}\] la concentration (mol/m3) à l'équilibre du soluté.

Remarque

On considère que la concentration à la surface du cristal est la concentration à l'équilibre du soluté.

Le flux massique de soluté dans la couche de diffusion s'écrit :

\[\frac{{{dm}}_{p}}{{dt}}={k}_{d}{A}_{p}M\left(C-{C}_{I}\right)\]

où \[{k}_{d}=\frac{D}{\delta }\] est le coefficient de transfert du soluté dans la couche de diffusion, avec \[D\] le coefficient de diffusion du soluté et \[\delta \] l'épaisseur de la couche limite. L'épaisseur de cette couche dépend de l'agitation du fluide dans le cristallisoire.

Le flux massique dans la couche d'intégration (réaction de surface) peut s'écrire sous la forme d'une réaction chimique :

\[\frac{{{dm}}_{p}}{{dt}}={k}_{I}{A}_{p}M{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}\]

où\[{C}_{I}\] est la concentration du soluté à l'interface des couches d'intégration et de diffusion, et \[{k}_{I}\] la constante de vitesse de la réaction de surface du processus d'intégration.

La croissance peut être contrôlée par une des deux étapes ou par la combinaison des deux. Les profils de concentration montrent ces deux types de contrôle en fonction de la distance à la surface du cristal.

L'illustration (a) représente la croissance limitée par la diffusion où \[\left(C–{C}_{I}\right)>\left({C}_{I}–{C}^{\mathrm{eq}}\right)\] et l'illustration (b) la croissance limitée par l'intégration où \[\left(C–{C}_{I}\right)<\left({C}_{I}–{C}^{\mathrm{eq}}\right)\] ( Mersmann, 2001[2]).

Le coefficient \[{k}_{d}\] peut-être calculé par des corrélations (voir la partie Transfert de matière et thermique liquide-solide[3], du chapitre Hydrodynamique des suspensions[4]).

À l'état stationnaire, le flux massique dans les couches est identique (pas d'accumulation de soluté à l'interface) :

\[{k}_{d}\left(C-{C}_{I}\right)={k}_{I}{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}\]

Si la constante de diffusion \(k_d\) est très grande devant la constante d'intégration \(k_I\), la vitesse globale de croissance est contrôlée par l'intégration. De façon à égaler les deux densités de flux (de diffusion et d'intégration), la force motrice de l'intégration doit être plus grande ce qui se traduit par un \[C\approx {C}_{I}\] (illustration (b)) : la force motrice de l'intégration en surface devient égale à \[C–{C}^{\mathrm{eq}}\].

Dans le cas contraire où l'intégration a une constante de vitesse plus importante que celle de la diffusion, sa force motrice sera plus petite, ce que revient à dire que \[{C}_{I}\approx {C}^{\mathrm{eq}}\] : la force motrice de diffusion est \[C–{C}^{\mathrm{eq}}\] (illustration (a)) ( Söhnel, 1992[1]).

Complément

\[{K}_{G}\] et \[g\] dans l'équation \[\frac{{{dm}}_{p}}{{dt}}={K}_{G}{A}_{p}M{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{g}\] sont des fonctions complexes de \[{k}_{d}\], \[{k}_{I}\] et \[j\].

Quelques cas limites sont donnés pour illustration :

  • Étape limitante : étape diffusionnelle, \[{K}_{G}={k}_{d} \mathrm{ et } g=1\]

  • Étape limitante : étape d'intégration, \[{K}_{G}={k}_{I} \mathrm{ et } g=j\]

  • Aucune étape limitante et \(j=1\), \[\frac{1}{{K}_{G}}=\frac{1}{{k}_{d}}+\frac{1}{{k}_{I}}\]