Agglomérat ou agrégat déjà constitués

Il est admis qu'un agglomérat, contrairement à un agrégat, se fragmente plus difficilement. Le pont cristallin se formant entre deux particules primaires d'un agglomérat est suffisamment solide pour résister aux sollicitations du fluide. L'agrégat, dont il est question dans ce paragraphe, peut s'être réarrangé après formation et donc être moins fragile.

La rupture d'un agrégat suit une loi cinétique du premier ordre décrivant la réaction quasi-chimique :

\[i–\mathrm{mer}\to j–\mathrm{mer}+\left(i–j\right)–\mathrm{mer}\]

avec :

\[\frac{{{dN}}_{i}}{{dt}}={k}_{i}^{\mathrm{frag}}{N}_{i}\]

où \[{k}_{i}^{\mathrm{frag}}\] est la constante cinétique ou noyau de fragmentation.

\[{k}_{i}^{\mathrm{frag}}\] est le produit de deux contributions : la fréquence de collision particule-tourbillon \[{k}_{0,i}^{\mathrm{frag}}\] et l'efficacité de fragmentation \[{\alpha }_{i}^{\mathrm{frag}}\] :

\[{k}_{i}^{\mathrm{frag}}={k}_{0,i}^{\mathrm{frag}}{\alpha }_{i}^{\mathrm{frag}}\]

Un sujet toujours polémique est relatif à la taille des fragments obtenus. On peut avoir

Cependant, dans tous les cas, la vitesse de fragmentation dépend des conditions d'écoulement et des caractéristiques des agrégats : rayons de la particule primaire et de l'agrégat, dimension fractale, force de cohésion entre deux particules primaires.

La vitesse de cisaillement est souvent choisie comme fréquence de fragmentation. On doit cependant tenir compte de la surface (ou du nombre de particules primaires appartenant à la surface de l'agrégat) dans le cas de l'érosion :

\[{k}_{0,i}^{\mathrm{frag}}=\dot{\gamma }{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{\gamma }\]

\(R_1\) et \(R_i\) sont les rayons de la particule primaire et de l'agrégat.

avec \[0<r<1\] pour la fragmentation et \[r=2\] pour l'érosion.

Remarque

Un terme équivalent (qui est un nombre potentiel de fragments) apparaît dans l'équation \[{\alpha }^{\mathrm{frag}}=\frac{{V}_{\mathrm{fragment}}}{{V}_{\mathrm{fille}}}\propto {V}_{p,m}\frac{{\left({E}_{c}/{V}_{p,m}\right)}^{3/5}}{{V}_{\mathrm{fille}}}\] (voir le paragraphe précédent[4]): \[{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{2}\] remplace \[\frac{{V}_{\mathrm{fragment}}}{{V}_{\mathrm{fille}}}\].

Deux types d'expression sont proposés dans la littérature pour l'efficacité de fragmentation :

  • loi exponentielle : \[{\alpha }_{i}^{\mathrm{frag}}={e}^{–R}\]

  • loi de puissance : \[{\alpha }_{i}^{\mathrm{frag}}\propto {R}^{–q}\] (\[q>0\])

    avec \[R={\sigma }_{S}/{\tau }_{S}\]

\[{\tau }_{S}\] et \[{\sigma }_{S}\] sont respectivement la contrainte de cisaillement et la force de cohésion par unité de surface de particule primaire. Elles obéissent [ Ayazi Shamlou, 1994[1]] à :

\[{\tau }_{S}=\mu \dot{\gamma }\]
\[{\sigma }_{S}\simeq 15/\left(4\pi \right){\phi }_{a}^{2,2}{F}_{\mathrm{adh}}/{R}_{1}^{2}\]

\[{F}_{\mathrm{adh}}\] est la force d'adhésion entre deux particules primaires dans l'agrégat. \[{\phi }_{a}\] est la fraction volumique en matière à l'endroit de la fragmentation (on choisit soit \[{\phi }_{a}=S{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{{D}_{f}–3}\] valeur moyenne dans l'agrégat, soit \[{\phi }_{a}=S{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{{D}_{f}–3}{D}_{f}/3\] à sa surface ; \(S\) est le facteur de structure ou préfacteur et est une fonction de la dimension fractale). Ainsi, la périphérie d'un agrégat fractal est moins cohésive et donc plus fragile que l'intérieur.

La relation \[{\tau }_{S}=\mu \dot{\gamma }\] est strictement valide pour un fluide newtonien. Cependant, elle est souvent utilisée pour un fluide non newtonien, en particulier une suspension concentrée. La viscosité apparaissant dans cette équation est alors une viscosité équivalente.

Nous pouvons ainsi écrire :

\[{k}_{i}^{\mathrm{frag}}\propto {\dot{\gamma }}^{b}{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{p}\]

avec

\[b=1+q\]

et

\[p=2,2q\left(3–{D}_{f}\right)+r\]

Cette approche peut être appliquée à la fragmentation des agglomérats ; la seule différence réside dans la valeur de la force d'adhésion beaucoup plus grande pour ces derniers.

Pour fixer les idées : \[q=0,8±0,2\], \[{D}_{f}=2,4±0,1\]. Par conséquent, le noyau de fragmentation obéit à la relation :

\[{k}_{i}^{\mathrm{frag}}\propto {\dot{\gamma }}^{1,8}{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{1,05}\]

Remarque

les relations précédentes (\[{k}_{0,i}^{\mathrm{frag}}=\dot{\gamma }{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{\gamma }\], \[{\alpha }_{i}^{\mathrm{frag}}\propto {R}^{–q}\]) avec \[q=1\] et \[0<r<1\] conduisent à \[{k}_{i}^{\mathrm{frag}}\propto \dot{\gamma }\frac{\mu \dot{\gamma }}{{\sigma }_{S}}{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{\gamma }\].

Cette dernière relation est très voisine de celle de Hounslow (voir le paragraphe Expression de la vitesse de consolidation[5].) : \[{k}_{r}=\frac{{\rho }_{L}\varepsilon {d}_{\mathrm{pi}}}{{\sigma }^{\mathrm{*}}L}=\dot{\gamma }\frac{\mu \dot{\gamma }}{{\sigma }^{\mathrm{*}}}\frac{{d}_{\mathrm{pi}}}{L}\] si \[\dot{\gamma }~{\left(\varepsilon /\nu \right)}^{1/2}\] (tableau des Expressions des constantes de vitesses de désagrégation[6]) . En effet, \[{\sigma }_{S}~{\sigma }^{\mathrm{*}}{\phi }_{a}~{\sigma }^{\mathrm{*}}{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{{D}_{f}–3}\], d'où \[{k}_{i}^{\mathrm{frag}}=\dot{\gamma }\frac{\mu \dot{\gamma }}{{\sigma }^{\mathrm{*}}}{\left({R}_{i}/{R}_{1}\right)}^{\gamma +3–{D}_{f}}\]. Si \[r=0\] et \[{D}_{f}=2\], alors \[L=2{R}_{1}\]. Le diamètre de la particule primaire est bien la longueur caractéristique du contact (à briser) dans un agglomérat.

Si l'on part d'une population d'agrégats, la fragmentation conduit à des agrégats plus petits, donc plus solides (augmentation de \[{\sigma }_{S}\]) et donc moins sécables. La vitesse de fragmentation va diminuer, jusqu'à s'annuler. On s'attend à ce que les agrégats atteignent une taille limite.

La dynamique de la population peut être décrite à l'aide du formalisme « bilan de population ».