Exercice : Aide au comptage de fibres de cellulose lors de la fabrication de papier
Un fabricant de papier réalise des feuilles à partir d'un mélange de fibres de cellulose de tailles dispersées et a besoin connaître le nombre de fibres de cellulose contenues par unité de masse du mélange. On supposera que la densité vraie de la cellulose est connue (\(\rho_s\) en \({\rm kg/m^3}\)). On vous demande de montrer comment l'analyse granulométrique du mélange de fibres permet de répondre à sa demande. Pour cela, vous pouvez suivre les instructions suivantes :
Question
En supposant que toutes les fibres ont la même taille, exprimez le nombre de fibres contenues dans un échantillon de masse \(M\) en fonction d'une taille caractéristique des fibres et de leur densité. Préciser quelle est cette taille caractéristique et explicitez votre choix.
Indice
Le diamètre équivalent le mieux approprié pour décrire ce système est le diamètre de sphère équivalente en masse (ou en volume) car on raisonne sur une masse unitaire de mélange.
Question
Généralisez le résultat précédent en considérant qu'il existe n classes de tailles pour ces fibres. Vous exprimerez au final le nombre de fibres par unité de masse d'échantillon en fonction de la taille caractéristique définie précédemment, de la densité de la cellulose et de la fraction massique de fibres contenues dans chaque classe de taille (\(m_i\) = masse dans la classe \(i\) divisée par la masse totale de l'échantillon).
Question
Enfin, simplifiez l'expression précédente en y introduisant un diamètre moyen \(d_{pq}\) que vous expliciterez (trouvez les valeurs de \(p\) et \(q\)).
Indice
L'expression généralisée des diamètres moyens est :
\(\bar{d_{pq}} = {\left(\frac{\sum n_i d_i^p}{\sum n_i d_i^q}\right)}^{\frac{1}{p-q}}\)
où :
\(p\) et \(q\) sont entiers, avec \(p > q\)
\(n_i\) représente la fréquence en nombre
Vous commencerez par exprimer ni en fonction de \(m_i\).
Question
Proposez une méthode d'analyse appropriée au type de diamètre que l'on doit mesurer.