Vitesse minimale de décollage d'une particule du fond

Pour que le décollage du fond ou de la surface se réalise dans un liquide de masse volumique \[{\rho }_{L}\][1], il faut que l'énergie cinétique due au mouvement turbulent soit du même ordre de grandeur au fond que l'énergie potentielle des forces de gravité [Mersmann et coll., 1998][2]. Appliqué à une cuve agitée et une particule de diamètre \[{d}_{p}\][3] et de masse volumique \[{\rho }_{S}\][4], cela donne :

\[{\rho }_{L}u{\mathrm{'}}_{L,\mathrm{min}}^{2}={d}_{p}g\mid {\rho }_{S}-{\rho }_{L}\mid \]

\[g\][5]est l'accélération de la pesanteur terrestre. Pour approcher la composante fluctuante de la vitesse \[u{\mathrm{'}}_{L,\mathrm{min}}\] avec un agitateur tournant à la vitesse d'agitation \[N\][6], en fond d'une cuve ou juste sous la surface, zone assimilée à une région de moyenne turbulence, [Mersmann et coll., 1998][2] proposent :

\[\frac{u{\mathrm{'}}_{L,\mathrm{min}}}{\pi \mathrm{DN}}=0,088{N}_{p}^{7/18}{\left(\frac{D}{{D}_{T}}\right)}^{3/2}\]

Une combinaison des deux relations précédentes conduit à la vitesse minimum d'agitation \[{N}_{\mathrm{min}}\][7] pour observer le phénomène de décollage :

\[{N}_{\mathrm{min}}=5,1{N}_{p}^{-7/18}\cdot {\left(\frac{{D}_{T}}{D}\right)}^{3/2}\cdot {\left(\frac{{d}_{p}g\mid {\rho }_{S}-{\rho }_{L}\mid }{{D}^{2}{\rho }_{L}}\right)}^{1/2}\]

En se fondant sur l'égalité de la puissance de mouvement fluctuant du fluide et de l'énergie de la particule en chute libre, elle-même corrigée de l'effet de densité de la phase solide suspendue, [Mersmann et coll., 1998][2] proposent une relation entre \[u{\mathrm{'}}_{L}\][8], valeur minimale de la composante fluctuante de la vitesse pour atteindre la mise en suspension, et les grandeurs caractéristiques du liquide et des particules :

\[\mid u{\mathrm{'}}_{L}\mid =3{C}_{D}{d}_{p}g{u}_{\mathrm{tc}}^{2}{\phi }_{S}{\left(1-{\phi }_{S}\right)}^{n}{\left(\frac{{\rho }_{S}-{\rho }_{L}}{{\rho }_{L}}\right)}^{1/4}\]

Tenant compte des expressions de l'énergie dissipée \[{\epsilon }_{M}\][9] et du nombre d'Archimède \[\mathrm{Ar}\][10], les relations ci-dessus fournissent l'énergie dissipée par unité de masse \[{\epsilon }_{\mathrm{M1}}\] à atteindre pour la mise en suspension :

\[{\epsilon }_{\mathrm{M1}}=200{\mathrm{Ar}}^{1/2}{\phi }_{S}{\left(1-{\phi }_{S}\right)}^{n}\left(\frac{\nu g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)}{H{\rho }_{L}}\right){\left(\frac{{D}_{T}}{D}\right)}^{5/2}\]

\[{\Phi }_{S}\] est la fraction volumique occupée par la phase solide, \[{u}_{\mathrm{te}}\][11] la vitesse terminale de chute libre. L'exposant \[n\], introduit par [Richardson et Zaki, 1954][12], varie de 4,65 (\[\mathrm{Ar}<5\]) à 2,4 (\[\mathrm{Ar}>50000\]). Entre ces valeurs extrêmes, on peut adopter la corrélation :

\[n=2,4+1,4\left(1,57–\mathrm{Atan}\left(\frac{\mathrm{Ar}}{300}\right)\right)\]