Exercice : Manipulation des diamètres équivalents
Diamètre de poussée en fonction du diamètre de Stokes et du diamètre équivalent en volume
On souhaite calculer le diamètre équivalent en force de poussée \(d_d\) à partir du diamètre de Stokes \(d_{stk}\) et du diamètre équivalent en volume \(d_V\). On considérera pour cela une particule de forme quelconque en chute libre dans un liquide.
Notations :
\(\rho_s\) masse volumique du solide
\(V\) volume de la particule
\(F_p\) force de poussée (traînée) exercée sur la particule
\(\rho_l\) masse volumique du liquide
\(\mu\) viscosité du liquide
Question
Montrer que :
\(d_{stk} = \sqrt{\frac{d_V^3}{d_d}}\)
Indice
Diamètre de Stokes équivalent : la vitesse de sédimentation (aux faibles Reynolds) est conservée.
Un bilan des forces exercées sur une particule qui sédimente à vitesse constante permet d'exprimer sa force de poussée \(F_p\) en fonction de son volume \(V\). Il est alors possible de relier la vitesse u aux diamètres de sphère équivalentes en force de poussée (\(d_d\)) et en volume (\(d_V\)) en exprimant \(F_p\) et \(V\) en fonction de ceux-ci.
Par ailleurs, si la particule sédimente à sa vitesse terminale de chute en régime laminaire, sa vitesse u peut s'écrire selon la loi de Stokes, en fonction du diamètre de sphère équivalente en vitesse de chute libre (\(d_{stk}\)).