Calcul de Janssen
Janssen a proposé en 1895 un calcul permettant de décrire les contraintes exercées par une poudre non cohésive stockée dans un silo. Bien qu'utilisant des approximations assez hardies, son calcul permet de bien décrire les phénomènes observés. Écrivons l'équilibre vertical d'une tranche d'épaisseur \(dz\) de poudre stockée dans un silo de diamètre \(D\) (figure ci-dessous) :
\(\frac{\pi D^2}{4}\sigma_{zz}+\frac{\pi D^2}{4}\rho_b g dz=\frac{\pi D^2}{4}\left(\sigma_{zz}+d\sigma_{zz}\right)+\pi D \tau_w dz\)
soit :
\(\frac{d\sigma_{zz}}{dz} +\frac{4\tau_w}{D}=\rho_b g\)
Cette écriture suppose que les contraintes soient homogènes dans la section du silo, ce qui n'est pas forcément le cas. On a par ailleurs, la poudre étant sans cohésion :
\(\tau_w=\mu_w \sigma_{rr}\)
où \(\mu_w\) est le coefficient de friction à la paroi. Enfin Janssen suppose que le ratio des contraintes normales dans les deux directions orthogonales est constant :
\(\sigma_{rr}=K\sigma_{zz}\)
Cela est vrai si la poudre est partout en état de rupture (le cercle de Mohr tangente le critère de Coulomb) et si les directions principales gardent une orientation constante. C'est le cas de Rankine, où les directions verticales et horizontales sont directions principales. Le facteur de Janssen vaut alors :
\(K=K_A=\frac{1-\sin \left(\phi\right)}{1+\sin \left(\phi\right)}\)
dans le cas actif et
\(K=K_B=\frac{1+\sin \left(\phi\right)}{1-\sin \left(\phi\right)}\)
dans le cas passif.
En substituant les deux dernières relations dans la pénultième, on aboutit à l'équation différentielle linéaire :
\(\frac{d\sigma_{zz}}{dz} +\frac{4\tau_w K}{D}\sigma_{zz}=\rho_b g\)
En faisant tendre le diamètre \(D\) vers l'infini, on retrouve le cas du sol et la contrainte \(\sigma_{zz}\) augmente linéairement avec la profondeur comme pour le cas d'un liquide. Mais en général, un milieu granulaire entreposé dans un silo ne se comporte pas comme un liquide et la contrainte qu'il exerce à la base du silo ne varie plus à partir d'une certaine épaisseur . Elle sature à :
\(\sigma_\infty=\frac{\rho_b g D}{4\mu_w K}\)
La hauteur caractéristique de stockage à partir de laquelle la contrainte en bas de silo sature est :
\(h_c=\frac{D}{4\mu_w K}\)
À \(2,5 h_c\), la contrainte est à moins de \({10}{\, \rm \%}\) de sa valeur limite. Pour un matériau typique pour lequel \(\phi_ = {30º}\) et \(\phi_w = {20º}\), on a \(h_c \approx 2D\) (dans le cas actif) et donc les efforts en fond de silo atteignent leur limite asymptotique pour une hauteur de cinq fois le diamètre du silo. Dans le cas passif, \(K_P = 3\), \(h_c \approx 0,22D\) et l'épaisseur de stockage avant saturation des contraintes n'est plus que d'un demi-diamètre. Ceci explique pourquoi le sablier a un débit constant, ce qui permet de mesurer facilement le temps écoulé.
