Sol soumis à son propre poids ; les états actif et passif de Rankine
Bien que cet exemple soit un peu éloigné des préoccupations du génie chimique, il permet d'introduire des notions essentielles à la compréhension de la statique d'un silo. Considérons un sol horizontal d'extension infinie (figure ci-dessous). Par raison de symétrie, il n'y a pas de cisaillement dans aucun plan vertical AA : \(\tau_{xy} = 0\). L'équilibre des forces verticales donne donc :
\({\sigma_{yy}}={\rho_bgy}\)
Comme \(\tau_{yx} = - \tau_{xy} = 0\), les axes verticaux et horizontaux sont les axes principaux. Par conséquent, on peut représenter les contraintes qui s'appliquent sur un plan horizontal situé à une profondeur y par le point \(Y\) dans le diagramme de Mohr-Coulomb (figure ci-dessous). Le point \(X\) représentant les contraintes sur le plan vertical à la même profondeur se trouve lui aussi sur l'axe \(\tau = 0\), à gauche ou à droite du point \(Y\). Mais il est contraint à rester sur le segment\( X_aX_p\) car le cercle de diamètre \(XY\), qui représente les contraintes dans une direction quelconques à la profondeur y ne peut pas traverser le critère de Coulomb.
Si la contrainte latérale \(\sigma_{xx}\) est diminuée jusqu'à \(\sigma_A\) (point \(X_a\)), le sol se retrouve alors en état de rupture dit actif car il corresponds à la rupture du sol sous l'effet de son propre poids comme le montre le schéma de la figure de gauche ci-dessous où la force maintenant les deux murs est progressivement diminuée. De même, si la contrainte latérale est augmentée jusqu'au seuil \(\sigma_P\), on atteint l'état passif de Rankine, qui corresponds à l'écrasement représenté en figure de droite ci-dessous. Pour un milieu granulaire sans cohésion, on peut calculer \(\sigma_A\). On a dans le cas actif : \(R = p \sin\left( \phi\right)\), \(\sigma_A = p − R\) et \(\rho_bgy = p + R\), soit :
\(\frac{\sigma_A}{\rho_bgy}=\frac{1-\sin\left( \phi\right)}{1+\sin\left( \phi\right)}\)
Pour le cas passif, il suffit d'inverser les positions des contraintes et on obtient immédiatement :
\(\frac{\sigma_B}{\rho_bgy}=\frac{1+\sin\left( \phi\right)}{1-\sin\left( \phi\right)}\)
Même si un sol peut être considéré comme un silo de dimension infinie, l'introduction de parois vont considérablement modifier la distribution des contraintes dans le milieu granulaire.