Sciences et Technologies des Poudres

Dans la pratique des poudres ne sont pas formées de grains identiques mais de plusieurs tailles de particules. La version la plus simple des empilements multi-composants est l'empilement formé de deux tailles de grain. En particulier, quand la différence de taille entre les grains du mélange est telle que les petits grains peuvent s'intercaler dans les interstices entre les gros sans les écarter. De cette façon, la porosité du mélange sera réduite à une valeur dont dépend de la composition du binaire. Considérons le diagramme de la figure suivante où l'on indique la porosité globale d'une mélange binaire de gros et petits grains en fonction de la fraction volumique de petits grains.

À chaque bord du diagramme, \(V_{\rm fp} = 0\) et \(V_{\rm fp} =1\), nous sommes en présence d'un empilement d'une seul taille de grain, soit des gros, soit des petits, et l'on peut supposer que ces empilements mono-taille auront la porosité compacte de 0,36. Si on part du côté gauche du diagramme en introduisant des petits grains entre les gros grains sans les écarter, on va diminuer la porosité. L'équation suivante donne la variation de la porosité en fonction des porosités d'empilements mono-tailles et de la fraction volumique des petits grains dans le mélange.

\(\varepsilon_{\textrm{mélange}}=\varepsilon_{\textrm{grosses}}-\frac{\left(1-\varepsilon_{\textrm{grosses}}\right)V_{f_{\textrm{petites}}}}{1-V_{f_{\textrm{petites}}}}\)

Prenons un autre cas, en partant du côté droit où il n'y a que des petits grains. Pour changer la composition du mélange, il faut remplacer les petits grains accompagnés de leur porosité interstitielle, pour les remplacer par des gros grains sans porosité interstitielle. L'équation suivante donne cette variation en fonction des porosités d'empilements mono-taille et de la fraction volumique des petits grains dans le mélange :

\(\varepsilon_{\textrm{mélange}}=\frac{\varepsilon_{\textrm{petites}} V_{f_{\textrm{petites}}}}{1-\varepsilon_{\textrm{petites}}\left(1-V_{f_{\textrm{petites}}}\right)}\)

Ces deux lignes se croisent à la porosité minimale de :

\(\hat \varepsilon_{\textrm{mélange}}=\varepsilon_{\textrm{grosses}}\cdot \varepsilon_{\textrm{petites}}\)

et à la composition suivante, obtenue à partir des équations précédentes :

\(\hat V_{f_{\textrm{petites}}}=\frac{\varepsilon_{\textrm{grosses}}}{\left(\frac{1-\varepsilon_{\textrm{grosses}}}{1-\varepsilon_{\textrm{petites}}}\right) + \varepsilon_{\textrm{grosses}}}\)

Ces résultats sont représentés sur la figure précédente où l'on voit la variation de porosité en V décalé vers la gauche pour le cas de mélanges de très petites grains avec des très gros (rapport de taille élevé, \(k \to \infty\)). Sur ce diagramme, on peut tracer une ligne droite entre les deux extrêmes pour indiquer le cas ou le "mélange" est fait de grains tailles égales (rapport de taille \(k = 1\)) où il n'y a pas de variation de porosité. Clairement tous les résultats pour d'autre cas de mélanges binaires (\(1 < k < \infty\)) doivent se trouver à l'intérieur de l'espace triangulaire ainsi formé. Les résultats expérimentaux (Ben Aim et LeGoff [*] ) montrés sur la figure suivante indiquent une série de courbes en V d'autant plus prononcé que le rapport de taille "\(k\)" est élevé.

Si on relève la porosité minimale sur chacune de ces courbes expérimentales et les trace en fonction du rapport de taille "\(k\)" on obtient la figure suivante (German [*]). Notons qu'au lieu de la porosité, ce diagramme est en fonction de la compacité \(c = 1 - \varepsilon\). On voit une grande variation de compacité (donc porosité) pour des mélanges binaires avec des valeurs de \(k\) entre 1 et environ 6, et peu de variation pour les valeurs de \(k > 10\). Ce changement correspond aux cas où les petites sphères peuvent juste s'infiltrer entre les grosses à \(k = 1/ 0,155 = 6,46\). Cette valeur a été identifiée comme la taille de "col" dans un empilement régulier tétraédrique.

On sait qu'une sphère de taille donnée peut être entourée de 12 autres de la même taille. Dans le cas d'un mélange binaire de deux tailles de sphères, les grosses sphères peuvent être entourées de beaucoup de petites sphères. En revanche des petites sphères ne peuvent être en contact qu'avec très peu de grandes sphères. Donc dans un mélange binaire les gros grains auront un nombre de coordination plus élevé que les petits. Les valeurs exactes seront fonction du rapport de taille et la composition du mélange. Bideau et Troadec [*] proposent une expression pour le coordinence maximale dans un empilement binaire :

\(Z=\frac{0,82}{1-\frac{\sqrt{k^2+2k}}{1+k}}\)

où \(k=\frac{D_1}{D_2}\).

On voit que :

\(\begin{array}{ccc} k=1 & Z_2 =Z_1 = 6 & \\k=3 & Z_2 =26 & Z_1 \approx 3\\k=10 & Z_2 \approx 200 & Z_1 \approx 2 \end{array}\)

Donc dans un mélange, les gros grains sont immobilisés par tous les autres grains qui les entourent mais en revanche les petites grains ont peu de contacts et sont relativement libres pour bouger. Ainsi des empilements formés avec plusieurs tailles de grains peuvent être sujet à la ségrégation.

Avant de tirer d'autres généralisations il sera utile de considérer les cas ou l'empilement est formé de grains de différentes tailles. L'étude des cas précédents (empilements réguliers, compacts, binaires) est basée essentiellement sur des résultats d'expérimentations. Par exemple, la connaissance de l'empilement compact est obtenue à partir de la seule expérience de Bernal. La figure précédente^[7] qui résume presque tout ce qu'il faut connaître sur des binaires est le fait d'environ 30 expériences. Cette méthode trouve aujourd'hui ses limites. Par exemple, pour établir des diagrammes de propriétés des empilements formés par trois tailles de grains a des intervalles de composition de \({10}{\, \rm \%}\), il serait nécessaire de préparer 60 mélanges différents et de déterminer leur porosité, leur perméabilité, les nombres de contacts, etc. Ensuite, pour généraliser l'étude il serait nécessaire de répéter les mesures pour d'autres rapports de diamètre de trois sphères et éventuellement de continuer avec des mélanges de quatre, puis cinq, .... Ce qui serait impensable. Une autre possibilité est de faire des simulations sur ordinateur. Mais pour qu'elles soient valables il faut traiter de très grands nombres de sphères afin d'y inclure un nombre suffisant de composants minoritaires, ce qui est encore problématique. Cependant, le véritable problème lié à une approche empirique est la gestion des très grandes quantités de données acquises. Il est difficile de représenter graphiquement des résultats pour des mélanges de plus de trois composants et sans modèle d'interprétation, il sera difficile d'en tirer des conclusions générales.

Il est possible de faire une construction itérative pour calculer la taille et la quantité de grains nécessaires pour remplir des interstices d'un empilement de sphères plus grandes, appelé remplissage Appolonien. Cette notion demande un positionnement précis des différentes sphères qui est trop rigide pour être généralisé.

La figure ci-après schématise en 2D un empilement de disques de différents diamètres. On suppose pour simplifier que chaque disque touche tous ses voisins ce qui permet de joindre les centres des disques et ainsi de diviser l'espace en triangles. Pour le cas d'un empilement binaire comme sur la figure, il y aura 4 différents types de triangles : 111, 112, 122, 222. La structure de l'empilement est donc liée à la répartition des différent types de triangles et cette répartition dépend de la taille et la nombre respectives des disques.

Cette même technique peut s'appliquer en 3D où les sous-unités sont de tétraèdres formés par quatre sphères (comme dans la figure suivante) au lieu des triangles. En général dans un empilement de \(N\) composants il y a \(T\) différents types de tétraèdres :

\(T=\frac{N(N+1)(N+2)(N+3)}{4!}\)

Un empilement binaire est donc composé de 5 différents types de tétraèdres dont la géométrie peut être calculée. Si maintenant nous pouvons déterminer la fréquence de chaque type de tétraèdre dans l'empilement nous pouvons déduire la structure en termes de porosité, tailles des pores, coordination, etc. La répartition est basée sur des considérations statistiques et géométriques. Sans entrer dans les détails, deux effets entrent en jeu :

• d'une part une grande sphère peut être présente dans plus de tétraèdres qu'une petite sphère, c'est l'effet de taille

• d'autre part les sphères qui sont les plus nombreuses sont présentes dans plus de tétraèdres, c'est l'effet de nombre.

Un formalisme de ces considérations par une calcul itératif permet de calculer la fréquence des sous-unités tétraédriques dans une empilement à partir de la distribution de tailles des sphères dans le mélange. Un exemple de résultat est donné dans le tableau suivant.

Comme indiqué sur le tableau précédent, la porosité de chaque type de tétraèdre est calculable géométriquement et la porosité de l'empilement est donnée par la somme pondérée des porosités des tétraèdres individuels. Il faut cependant noter que l'hypothèse d'un empilement où toutes les sphères se touchent mutuellement et où il n'y a pas d'espaces donne une porosité trop petite. La porosité des tétraèdres formés de 4 sphères égales est de \({22}{\, \rm \%}\) et non la valeur minimale de \({36}{\, \rm \%}\) pour un empilement compact. Une correction simple est donc d'ajouter \({14}{\, \rm \%}\) de porosité à chaque tétraède ce qui revient à supposer que l'espace supplémentaire est distribué uniformément dans toute l'empilement. D'autres corrections plus compliqués et plus difficiles à justifier peuvent êtres imaginées. On doit noter également que cette même hypothèse interdit les calculs à des rapports de taille inférieurs à 6,46 et au-delà les petites sphères ne formeront pas des tétraèdres avec les grandes

Différentes relations peuvent êtres établies pour caractériser les contacts entre sphères dans les empilements multi-composants :

Le nombre de coordination moyenne totale \(Z\) :

\(Z=\frac{\textrm{nombre de contacts}}{\textrm{nombre de sphères}}\)

Le nombre de coordination moyenne par classe \(z_i\)

\(z_i=\frac{\textrm{nombre de contacts sur sphères de classe } i}{\textrm{nombre de sphères de classe } i}\)

où :

\(\frac{\sum \limits_{i=1}^N n_i z_i}{\sum \limits_{i=1}^N n_i}=Z\)

Le nombre de coordination partielle moyenne par classe \(p_{ij}\)

\(tp_{ij} = \frac{\textrm{nombre total de contacts sur sphères de classe } i }{\textrm{nombre de sphères de classe } j}\)

où :

\(\sum \limits_{j=1}^N p_{ij} =z_i\)

Types de contacts fractionnaires \(t_{ij}\)

\(t_{ij} = \frac{\textrm{nombre de contacts entre classe } i \textrm{ et classe} j}{\textrm{nombre total de contacts}}\)

où :

\(\sum \limits_{i=1}^N \sum \limits_{j=1}^N t_{ij} = 1\)

La figure qui suit montre les résultats des calculs pour les variations du nombre de coordination partiel moyen par classe \(p_{ij}\) dans le cas d'un mélange binaire de sphères de rapport de taille \(k = 5\). Dans la pratique, il n'existe pas de résultats expérimentaux correspondant à ces différentes valeurs de coordinence. Mais on observe que \(p_{11}\) et \(p_{55}\) varient en sens opposés entre 0 et 13,5 (cette dernière valeur correspond à la coordination de voisinage négligeant l'encombrement des sphères, et dans la pratique celle-ci devrait être inférieure à 12). \(p_{15}\) varie de 0 à \(\approx 4\) et \(p_{51}\) varie de 0 à \(\approx 130\).

La figure suivante donne des résultats pour le même empilement, les valeurs de types de contact \(t_{ij}\). On voit que les valeurs correspondant aux contacts entre sphères semblables \(t_{55}\) descend de 1 à 0 par une courbe concave tandis que \(t_{11}\) augmente de 0 a 1 par une courbe convexe. La valeur de \(t_{15}\) pour les contacts entre sphères dis-similaires passe par un maximum pour une composition de \(V_{f_{\textrm{petites}}}\) d'environ 0,08.

Le réseau de contacts entre grains détermine en grande partie la mécanique des empilements. En conséquence on peut tirer les généralisations suivantes concernant les contacts entre grains dans un empilement :

• Les gros grains ont beaucoup de contacts avec d'autres sphères. Ils sont ainsi fixés en place et forment le squelette de l'empilement ;

• Les petits grains ont très peu de contacts avec d'autres grains. Ils participent dans une moindre mesure au réseau mécanique mais servent comme matériaux de remplissage pour maintenir en place les gros grains ;

• Les petits grains peuvent être relativement mobiles, ils sont donc susceptibles de provoquer de la ségrégation ;

• Un bon contact entre grains différents correspond à des valeurs élevées de \(t_{ii}\). Ainsi, dans un mélange de deux tailles, la composition qui donne le contact maximum entre grains est toujours inférieur à 0,5 et est d'autant plus petite que le rapport de taille \(k\) est grande.