La loi de Bragg
Chacun des faisceaux diffractés se comporte en ce qui concerne sa direction comme s’il était réfléchi selon la loi classique de la réflexion sur l’un des plans réticulaires du cristal : chaque plan cristallographique joue le rôle de miroir et réfléchit environ \(10^{-1}\) à \(10^{-3}\) pour cent de la radiation incidente.
Considérons un faisceau de rayon X de longueur d’onde \(\lambda\) tombant avec une incidence \(\theta\) sur une famille de plans cristallins \((hkl)\) définis par leur distance interréticulaire \(d_{hkl}\).
Il y a diffraction si la loi suivante, appelée loi de Bragg, est vérifiée :
\(2 d_{hkl} . \sin \left( \theta \right) = n.\lambda\)
où \(n\) est un nombre entier positif appelé ordre de la diffraction.
On peut démontrer la loi de Bragg en considérant la figure suivante. La différence de marche entre les deux faisceaux diffractés par deux plans réticulaires consécutifs est égale à \(2.d_{hkl}. \sin \left(\theta \right)\). Une interférence additive apparaît lorsque cette différence de marche est un multiple entier n de la longueur d’onde \(\lambda\).
Remarquons que les plans cristallins réels ont des indices de Miller premiers entre eux, les autres étant des plans fictifs. Par exemple dans le réseau cubique, les plans \({111}\) sont des plans matériels alors que les plans \({222}\) sont des plans fictifs. Il vient :
\(d_{111} = \frac{a}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}= \frac{a}{\sqrt{3}} = 2.\frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{3}}= 2.\frac{a}{\sqrt{12}}= 2.\frac{a}{\sqrt{2^2+2^2+2^2}} = 2.d_{222}\)
et on a donc :
\(2.d_{111}.\sin\left(\theta\right) = 2\lambda \quad \Leftrightarrow \quad 2.2.d_{222}.\sin\left(\theta\right) = 2\lambda \quad \Leftrightarrow \quad 2. d_{222}.\sin\left(\theta\right) = \lambda\).
En conclusion, la diffraction d’ordre \(n\) sur les plans matériels d’indices \((hkl)\) d’espacement \(d\) est équivalente à la diffraction d’ordre 1 sur les plans fictifs \((nh,nk,nl)\) d’espacement \(d' = d/n\).
Remarque :
géométriquement, remarquons que le faisceau incident, la normale aux plans diffractants et le faisceau diffracté sont coplanaires et que le faisceau diffracté fait un angle \(2\theta\) avec le faisceau incident,
la réflexion de Bragg nécessite des longueurs d’onde \(\lambda\) inférieures ou égales à \(2d\) (les valeurs de \(d\) pour la plupart des métaux sont inférieures à \({4}{ \, Å}\) et donc la longueur d’onde incidente ne doit pas dépasser \({8}{ \, Å}\)),
par rapport à la réflexion de la lumière sur un miroir pour laquelle celle-ci a lieu pour toutes les incidences, il faut noter que la diffraction ne s’effectue que pour certaines directions,
bien que diffraction et réflexion soient des phénomènes totalement différents, l’usage veut que l’on emploie indifféremment ces deux termes. Ainsi on parlera aussi bien de plans diffractants que de plans réflecteurs, de faisceaux diffractés que de faisceaux réfléchis, bien que seul le terme de diffraction soit correct.
Conclusion
En résumé, pour une longueur d’onde \(\lambda\) et une famille de plans réticulaires \((hkl)\) telle que \(2.d_{hkl}≤\lambda\), il existe n orientations de cette famille de plans par rapport au faisceau incident susceptibles de donner un faisceau diffracté, \(n\) étant au plus égal à \(d_{hkl} / \lambda\). Les directions de ces faisceaux diffractés par rapport aux plans \((hkl)\) sont déterminées par l’angle \(\theta\) vérifiant la loi de Bragg.