Énergie interne
Soit un système thermodynamique à l'équilibre, que nous supposons décrit en termes de variables d'état normales ; réalisons à partir de cet état une transformation élémentaire virtuelle réversible. Par application directe :
du premier principe \[{dU}=\delta W+\delta Q\] et
du second principe \[{dS}={d}_{i}S+{d}_{e}S\], \[{d}_{i}S=0\] car la transformation est supposée réversible et \[{d}_{e}S=\frac{\delta Q}{T}\], soit \[{dS}={d}_{e}S=\frac{\delta Q}{T}\]
on obtient :
\[{dU}=\sum _{i}{E}_{i}{{dX}}_{i}+T{dS}\]
Cette relation montre que l'énergie interne peut être exprimée comme fonction des variables \[{X}_{i}\] et \[S\]. Les actions apparaissent comme des différentielles de l'énergie interne par rapport aux variables normales :
\[{E}_{i}={\left(\frac{\partial U}{\partial {X}_{i}}\right)}_{S,{X}_{j,j\ne i}}\]
et la température thermodynamique se définit comme :
\[T={\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)}_{{X}_{j}}\]