Collision Brownienne
Nous allons calculer la constante cinétique \[{k}_{0}\] quand la cause de la collision est le mouvement Brownien : on considère une particule notée \[i\] (rayon \[{R}_{i}\]) , supposée immobile, et on calcule le flux de particules \[j\] (rayon \[{R}_{j}\]) pouvant entrer en collision avec \[i\]. La symétrie du problème est sphérique. Ce flux obéit à l'équation de continuité (à l'état stationnaire) :
ou
avec
Les conditions aux limites sont :
\(N_j\) est la concentration "moyenne" en particules \[j\]. \[{n}_{j}\]est la concentration "locale" en particules \[j\] à la distance \[r\] de la particule \[i\].
La solution de l'équation de continuité est :
et
L'indiscernabilité ou le comportement symétrique de \[i\] et \[j\] conduit à :
Le noyau d'agrégation s'exprime ainsi :
Le coefficient de diffusion est lié à la taille de la particule par l'équation de Stokes-Einstein :
\[{f}_{i}\] est le facteur de friction pour la particule (sphérique) dans le fluide de viscosité dynamique[1] \[\mu \][1]. On en déduit :