Collision Brownienne

Nous allons calculer la constante cinétique \[{k}_{0}\] quand la cause de la collision est le mouvement Brownien : on considère une particule notée \[i\] (rayon \[{R}_{i}\]) , supposée immobile, et on calcule le flux de particules \[j\] (rayon \[{R}_{j}\]) pouvant entrer en collision avec \[i\]. La symétrie du problème est sphérique. Ce flux obéit à l'équation de continuité (à l'état stationnaire) :

\[\stackrel{\to }{\nabla \mathrm{.}}\stackrel{\to }{{j}_{j}}=0\]

ou

\[{J}_{j}={4\pi r}^{2}{j}_{j}=\mathrm{Cte}\]

avec

\[{j}_{j}=-{D}_{j}\frac{\partial {n}_{j}}{\partial r}\]

Les conditions aux limites sont :

\[{n}_{j}=0\qquad \textrm{ pour } \quad r={R}_{ij}={R}_{i}+{R}_{j}\]
\[{n}_{j}={N}_{j} \qquad \textrm{ pour } \quad r\to \infty \]

\(N_j\) est la concentration "moyenne" en particules \[j\]. \[{n}_{j}\]est la concentration "locale" en particules \[j\] à la distance \[r\] de la particule \[i\].

La solution de l'équation de continuité est :

\[{n}_{j}=\frac{{J}_{j}}{{4\pi D}_{j}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{{R}_{ij}}\right)\]

et

\[{J}_{j}=-{4\pi D}_{j}{R}_{ij}{N}_{j}\]

L'indiscernabilité ou le comportement symétrique de \[i\] et \[j\] conduit à :

\[\frac{{{dN}}_{i+j}}{{dt}}=-{J}_{ij}=4\pi\left({D}_{i}+{D}_{j}\right)\left({R}_{i}+{R}_{j}\right){N}_{i}{N}_{j}\]

Le noyau d'agrégation s'exprime ainsi :

\[{k}_{0}\left(i,j\right)=4\pi\left({D}_{i}+{D}_{j}\right)\left({R}_{i}+{R}_{j}\right)\]

Le coefficient de diffusion est lié à la taille de la particule par l'équation de Stokes-Einstein :

\[{D}_{i}=\frac{\mathrm{kT}}{{f}_{i}}=\frac{\mathrm{kT}}{{6\pi \mu R}_{i}}\]

\[{f}_{i}\] est le facteur de friction pour la particule (sphérique) dans le fluide de viscosité dynamique[1] \[\mu \][1]. On en déduit :

\[{k}_{0}\left(i,j\right)=\frac{2}{3}\frac{\mathrm{kT}}{\mu}\left(\frac{1}{{R}_{i}}+\frac{1}{{R}_{j}}\right)\left({R}_{i}+{R}_{j}\right)\]