Expression de la vitesse de consolidation
Une fois la collision effective, la cohésion de l'agrégat obtenu peut être favorisée par un liant tensioactif et/ou des forces capillaires.
Dans le cas qui nous intéresse, la cristallisation ou la précipitation, la consolidation s'effectue toujours par création d'un pont cristallin à partir de la solution sursaturée, qui ne peut être cassé que par une brisure. La consolidation par croissance peut être éventuellement limitée par la diffusion externe.
Les agrégats et les agglomérats ont tendance à se casser (comme vu précédemment[1]) pour redonner les particules d'origine, car les liaisons les plus récentes sont les plus fragiles. La brisure[2] va donc entrer en compétition avec la consolidation de l'agrégat, causant une efficacité d'agglomération[3] \[{\eta }_{\mathrm{AG}}\][4] ( David et coll., 2003[5]) inférieure ou égale à 1. La brisure[2] peut être causée par des forces de gravité (sédimentation), électrostatiques (répulsion), hydrodynamiques (cisaillement, turbulence) ou des chocs (parois, chicanes, agitateur). Le régime de brisure dépend de la taille de la particule-fille et est donné dans les deux colonnes de droite du tableau qui suit.
Taille de la particule-mère \(j\) | Taille de la particule-mère \(i\) | Régime de collision | Taille de la particule-fille | Régime de brisure |
|---|---|---|---|---|
\(d_{ pj} \le l_B\) | \(d_{ pi } \le l_B\) | Brownien | \(d_{ p } \le l_B\) | Brownien |
\(d_{ pj} \le l_B\) | \(d_{ pi } \le l_B\) | Brownien | \(d_{ p } > l_B\) | laminaire |
\(d_{ pj} \le l_B\) | \(l_B< d_{ pi } < l_K\) | Brownien | \(l_B < d_{ p } < l_K\) | laminaire |
\(d_{ pj} \le l_B\) | \(d_{ pi } \ge l_K\) | Brownien | \(d_{ p } > l_K\) | laminaire |
\(l_B< d_{ pj } < l_K\) | \(l_B< d_{ pi } < l_K\) | laminaire | \(l_B < d_{ p } < l_K\) | laminaire |
\(l_B< d_{ pj } < l_K\) | \(l_B< d_{ pi } < l_K\) | laminaire | \(d_{ p } > l_K\) | turbulent |
\(l_B< d_{ pj } < l_K\) | \(d_{ pi } \ge l_K\) | turbulent | \(d_{ p } > l_K\) | turbulent |
\(d_{ pj} \ge l_K\) | \(d_{ pi } \ge l_K\) | turbulent | \(d_{ p } > l_K\) | turbulent |
Complément :
Montrer à partir du schéma décrit par la figure 1 ci-dessus que, si on admet que la vitesse de rupture des agrégats et leur vitesse de consolidation sont toutes deux proportionnelles à la concentration des dits agrégats avec des constantes de proportionnalité respectives \[{k}_{r}\][10] et \[{k}_{c}\][11] on obtient :
Indice : on considérera que l'agrégat intermédiaire est instable et on lui appliquera une hypothèse de type état quasi-stationnaire.
Remarque :
La démonstration de cette expression est détaillée dans l'Exercice titré "Calcul de la vitesse de consolidation en fonction de la vitesse de collision et de l'efficacité d'agrégation "[12]
En régime Brownien, \[{k}_{r}\][10] est très faible et donc \[{\eta }_{\mathrm{AG}}=1\] et
Dans le cas d'une cristallisation lente ( \[{k}_{c}\][11] faible), \[{\eta }_{\mathrm{AG}}\][4] se simplifie :
Le tableau suivant donne des expressions pour les constantes \[{k}_{r}\][10] et \[{k}_{c}\][11] selon les régimes. (Sources : Marchal et coll., 1988[13] ; David et coll., 2003[5] ; Cameirao et coll., 2006[14] ; Liew et Hounslow, 2003[15].)
Régime/Processus | \(k_r\) | \(k_c\) |
|---|---|---|
Brownien | 0 | \(\, = \frac{G}{\left[d_{pj}F \left(d_{pi},d_{pj} \right)\right]}\) |
laminaire | \(\sim \frac{\left[\rho_LPd_{pi} \right] }{\left(\sigma \times L \right)}\) | \(\, = \frac{G}{\left[d_{pj}F \left(d_{pi},d_{pj} \right)\right]}\) |
turbulent | \(\sim \frac{\left[\rho_LPd_{pi} \right] }{\left(\sigma \times L \right)}\) | \(\, = \frac{G}{\left[d_{pj}F \left(d_{pi},d_{pj} \right)\right]}\) |
\(L\) est une échelle de taille du point de contact entre les cristaux, que Hounslow et coll., 2001[16], Liew et Hounslow, 2003[15] considèrent comme une constante ; \[{\sigma }^{\mathrm{*}}\][17] est la dureté du pont cristallin[17] en formation. La consolidation est le résultat d'une croissance cristalline au points de contacts ente particules évoluant dans un milieu sursaturé. Elle fait donc intervenir la vitesse de croissance[18] du cristal \[G\][18], la taille de la plus petite des deux particules \[{d}_{\mathrm{pj}}\], qui détermine la taille du col cristallin ; \[F\left({d}_{\mathrm{pi}},{d}_{\mathrm{pj}}\right)\][19] est une fonction de forme[20], qui dépend de \[{d}_{\mathrm{pi}}\][21] et \[{d}_{\mathrm{pj}}\] et qui varie peu ( Marchal et al. 1988[13]), entre 8 et 12. En première approximation, on peut donc écrire que la constante de premier ordre de la vitesse de consolidation est inversement proportionnelle à la taille de la plus petite des deux :
La combinaison des relations ci-dessus pour la collision et la brisure donne :
qui se simplifie en :
pour les cristallisations lentes à l'exception du régime Brownien pour lequel \[{k}_{r}\][10] est très faible et pour lequel on a :
\[{R}_{\mathrm{AG}}\][22] se simplifie aussi pour les cristallisations rapides (\[G>{10}^{–8}{\mathrm{m.s}}^{–1}\]), en posant \[{\eta }_{\mathrm{AG}}=1\], à condition que \[{d}_{\mathrm{pj}}\] ne soit pas trop grand :
L'expression ci-dessus est aussi valable pour toutes les agglomérations en régime Brownien, quel que soit la valeur de la vitesse d'agglomération.
\[{k}_{\mathrm{col}}\][23] et \[{k}_{r}\][10] sont donnés par le tableau vu dans la partie précédente[24] et le dernier tableau[25] respectivement en fonction des régimes listés dans le tableau précédent[26].